算法導論第四章分治策略剖根問底（二）

 　　在上一篇中，經過一個求連續子數組的最大和的例子講解，想必咱們已經大概瞭然了分治策略和遞歸式的含義，可能會比較模糊，知道但不能用語言清晰地描述出來。但不要緊，我相信經過這篇博文，咱們會比較清楚且容易地用本身的話來描述。

　　經過前面兩章的學習，咱們已經接觸了兩個例子：歸併排序和子數組最大和。這兩個例子都用到了分治策略，經過分析，咱們能夠得出分治策略的思想：顧名思義，分治是將一個原始問題分解成多個子問題，而子問題的形式和原問題同樣，只是規模更小而已，經過子問題的求解，原問題也就天然出來了。總結一下，大體能夠分爲這樣的三步：

分解：將原問題劃分紅形式相同的子問題，規模能夠不等，對半或2/3對1/3的劃分。

解決：對於子問題的解決，很明顯，採用的是遞歸求解的方式，若是子問題足夠小了，就中止遞歸，直接求解。

合併：將子問題的解合併成原問題的解。

　　這裏引出了一個如何求解子問題的問題，顯然是採用遞歸調用棧的方式。所以，遞歸式與分治法是緊密相連的，使用遞歸式能夠很天然地刻畫分治法的運行時間。因此，若是你要問我分治與遞歸的關係，我會這樣回答：分治依託於遞歸，分治是一種思想，而遞歸是一種手段，遞歸式能夠刻畫分治算法的時間複雜度。因此就引入本章的重點：如何解遞歸式？

 

解遞歸式的三種方法

這裏有三種方法：代入法、遞歸樹法和主方法。（下面這一部分結合有些網友的總結和個人總結得來）

代入法：

定義：先猜想某個界的存在，再用數學概括法去證實該猜想的正確性。
缺點：只能用於解的形式很容易猜的情形。
總結：這種方法須要經驗的積累，能夠經過轉換爲先前見過的相似遞歸式來求解。

遞歸樹法：

原由：代換法有時很可貴到一個正確的好的猜想值。
用途：畫出一個遞歸樹是一種獲得好猜想的直接方法。
分析(重點)：在遞歸樹中，每個結點都表明遞歸函數調用集合中一個子問題的代價。將遞歸樹中每一層內的代價相加獲得一個每層代價的集合，再將每層的代價相加獲得遞歸式全部層次的總代價。
總結：遞歸樹最適合用來產生好的猜想，而後用代換法加以驗證。
遞歸樹的方法很是直觀，總的代價就是把全部層次的代價相加起來獲得。可是分析這個總代價的規模卻不是件很容易的事情，有時須要用到不少數學的知識。

主方法：

主方法是最好用的方法，書本上以」菜譜「來描述這種方法的好用之處，它能夠瞬間估計一個遞推式的算法複雜度。可是咱們知道，這後面確定是嚴格的數學證實在支撐着，對於咱們用戶來講，咱們只用知道怎麼用就好了。

優勢：針對形如T(n) = af(n/b) + f(n)的遞歸式

缺點：並不能解全部上述形式的遞歸式，有一些特殊狀況，見下文分析。

分析：三種狀況，以下圖，着重看圈線的部分:

直覺：看 f(n) 和 n^log_ba 的關係，誰大取誰，相等則兩個相乘，但要注意看是否相差因子 n^ε。對於3），還要看是否知足條件 af(n/b) <= cf(n) .

就像上面所說的，該方法不能用於全部的形如上式的遞歸式，f(n)和n^log_ba的關係必須是多項式意義上的小於大於，即漸近關係（漸近小於、漸近大於），什麼是漸近，就是二者相差一個因子n^ε。因此，在狀況1和狀況2之間有必定的間隙，一樣狀況2和請看3之間也有必定的間隙；對於狀況3，還要看是否知足正則條件。

　　經過上面的講述，我相信本身應該講清楚了這三種方法，你也許仍是有些困惑，但不要緊，你只是缺少例子的引導，下面咱們就來看幾個例子，其充分應用到了這三種方法。

代入法：（憑直覺、經驗）

1）、習題4.3-1：T(n) = T(n-1) + n

2）、習題4.3-2：T(n) = T(n/2) + 1

遞歸樹法：

1）、對遞歸式T(n) = 3T(n/2) +ｎ，利用遞歸樹肯定一個好的漸近上界，用代入法進行驗證。

2）、對遞歸式T(n) = T(n/2) + n²，利用遞歸樹肯定一個好的漸近上界，用代入法進行驗證。

主方法：

1）、對於下列遞歸式，使用主方法求出漸近緊確界。

　　a、T(n) = 2T(n/4) + 1

　　b、T(n) = 2T(n/4) + n^1/2

　　c、T(n) = 2T(n/4) + n

　　d、T(n) = 2T(n/4) + n²

好了，以上只是熱身用的，關於更多的課後習題的解答，請詳見：http://www.cnblogs.com/Jiajun/archive/2013/05/08/3066979.html

 

 

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