全域哈希和徹底哈希——麻省理工算法導論公開課

公開課地址：

http://open.163.com/movie/2010/12/3/A/M6UTT5U0I_M6V2TGI3A.html

全域哈希

誕生：

哈希的根本缺陷：對於任意哈希函數而言，都存在一個很差的健集，使得全部的健都會哈希到同一個槽裏去，那麼如何解決這種狀況呢？如何防止對某個鍵集永遠有較差的表現？如何防止競爭對手使用這個鍵集來下降你的性能表現？ 一個詞解決這個問題 —— random！

全域哈希的方法就是隨機選擇一個哈希函數H（固然不是每次操做都選擇一個哈希函數，而是構建一個哈希表的時候隨機選一個，選定以後這個哈希表的全部操做都是基於這個哈希函數，這種方法能夠防止競爭對手別有用心的設計一個鍵集，同時也能避免某些鍵集永遠會致使較差的性能，若是是，那麼從新建一個表就行！）

定義：

設U爲鍵的全域，H是哈希的有限集，H裏面的每一個哈希函數h將集合U映射到哈希表的m個位置上，若是哈希表知足：對於U裏面的兩個值x,y x≠y {h∈H：h（x）=h（y）}=|H|/m，那麼H就是全域的。
|H|的意思是指全域哈希函數的個數，那麼從裏面任意取一個函數h，這個函數把x和y哈希到同一個位置的機率就是1/m，也就是說，這些函數都是均勻函數。

 

Hash Function Group構造的一個方法以下：

取 m 爲素數，取隨機數 A 爲 r+1 位 m 進制的數，表示爲 <A0,A1,...,Ar> （其中 0 <= Ai <= m-1爲隨機選擇），則哈希函數H[A](K) 定義爲：

  H[A](K) = sum { Ai * Ki | i =0, 1, ... , m-1 }  mod m

 

證實：

定理得證

 

徹底哈希

哈希的基本缺陷，即便構造了全域哈希，仍是不必定能解決很差的鍵集輸入的問題，能不能找到一個完美的解決方案呢？
能不能保證在任何狀況下查找的複雜度都在Θ（1）呢？並且哈希表還不能太大，必須知足n=O（m）
如今來作作推理，若是咱們要求對於哈希表中任意一個數x，發生碰撞的次數的指望，小於1
在均勻哈希的狀況下，對於每個數來講，碰撞的可能性都是1/m,那麼
Cn2*1/m=n(n-1)/2m <1 那麼m＞n（n-1）/2 也就是說m是n的平方的量級，因此普通的哈希表是不可能完成這種任務的，除非哈希表構造得很是的大。
解決方案是構造一個雙層哈希的結構，哈希表的底層用來存放第二層的入口指針和所用的哈希函數，第二層纔是存放數據元素，證實略