動態規劃 硬幣問題

題目：有n種硬幣，面值分別爲V1,V2,...Vn,每種都有無限多。給定非負整數S，能夠選用多少個硬幣，使得面值之和剛好爲S？輸出硬幣數目的最小值和最大值！

 

       若是咱們有面值爲1元、3元和5元的硬幣若干枚，如何用最少的硬幣湊夠11元？ (表面上這道題能夠用貪心算法，但貪心算法沒法保證能夠求出

解，好比1元換成2元的時候)

      首先咱們思考一個問題，如何用最少的硬幣湊夠i元(i<11)？爲何要這麼問呢？ 兩個緣由：1.當咱們遇到一個大問題時，老是習慣把問題的規模變

小，這樣便於分析討論。 2.這個規模變小後的問題和原來的問題是同質的，除了規模變小，其它的都是同樣的， 本質上它仍是同一個問題(規模變小後的

問題實際上是原問題的子問題)。

        好了，讓咱們從最小的i開始吧。當i=0，即咱們須要多少個硬幣來湊夠0元。 因爲1，3，5都大於0，即沒有比0小的幣值，所以湊夠0元咱們最少需

要0個硬幣。 這時候咱們發現用一個標記來表示這句「湊夠0元咱們最少須要0個硬幣。

      那麼， 咱們用d(i)=j來表示湊夠i元最少須要j個硬幣。因而咱們已經獲得了d(0)=0， 表示湊夠0元最小須要0個硬幣。當i=1時，只有面值爲1元的硬

幣可用， 所以咱們拿起一個面值爲1的硬幣，接下來只須要湊夠0元便可，而這個是已經知道答案的， 即d(0)=0。因此，d(1)=d(1-1)+1=d(0)+1=0+1=1。

當i=2時， 仍然只有面值爲1的硬幣可用，因而我拿起一個面值爲1的硬幣， 接下來我只須要再湊夠2-1=1元便可(記得要用最小的硬幣數量)，而這個答案也

已經知道了。 因此d(2)=d(2-1)+1=d(1)+1=1+1=2。

      一直到這裏，你均可能會以爲，好無聊， 感受像作小學生的題目似的。由於咱們一直都只能操做面值爲1的硬幣！耐心點， 讓咱們看看i=3時的狀況。

當i=3時，咱們能用的硬幣就有兩種了：1元的和3元的( 5元的仍然沒用，由於你須要湊的數目是3元！5元太多了親)。 既然能用的硬幣有兩種，我就有兩

種方案。若是我拿了一個1元的硬幣，個人目標就變爲了： 湊夠3-1=2元須要的最少硬幣數量。即d(3)=d(3-1)+1=d(2)+1=2+1=3。 這個方案說的

是，我拿3個1元的硬幣；第二種方案是我拿起一個3元的硬幣， 個人目標就變成：湊夠3-3=0元須要的最少硬幣數量。即d(3)=d(3-3)+1=d(0)+1=0+1=1.

這個方案說的是，我拿1個3元的硬幣。好了，這兩種方案哪一種更優呢？ 記得咱們但是要用最少的硬幣數量來湊夠3元的。因此， 選擇d(3)=1，怎麼來的呢？

具體是這樣獲得的：d(3)=min{d(3-1)+1, d(3-3)+1}。

       上文中d(i)表示湊夠i元須要的最少硬幣數量，咱們將它定義爲該問題的」狀態」， 這個狀態是怎麼找出來的呢？我在另外一篇文章中寫過： 根據子問題定義狀

態。你找到子問題，狀態也就浮出水面了。 最終咱們要求解的問題，能夠用這個狀態來表示：d(11)，即湊夠11元最少須要多少個硬幣。 那狀態轉移方程是什

麼呢？既然咱們用d(i)表示狀態，那麼狀態轉移方程天然包含d(i)， 上文中包含狀態d(i)的方程是：d(3)=min{d(3-1)+1, d(3-3)+1}。沒錯， 它就是狀態

轉移方程，描述狀態之間是如何轉移的。固然，咱們要對它抽象一下，

d(i)=min{ d(i-vj)+1 }，其中i-vj >=0，vj表示第j個硬幣的面值;

有了狀態和狀態轉移方程，這個問題基本上也就解決了。固然了，Talk is cheap,show me the code!

僞代碼以下：

/**
 * 硬幣找零
 * 
 * @author sun
 *
 */
public class MinCoins {
    public static void main(String[] args) {
        int[] coins = { 1, 3, 5 };
        int value = 11;
        CoinDp(value, coins);
    }

    public static void CoinDp(int n, int[] coinValue) {
        int count = 0;// 記錄執行次數
        int[] min = new int[n + 1]; // 用來存儲獲得n塊錢須要的硬幣數的最小值
        min[0] = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            min[i] = Integer.MAX_VALUE;// 初始化數組中的每一個值都是最大的整數
            for (int j = 0; j < coinValue.length; j++) {
                count++;
                if (i >= coinValue[j] && min[i] > min[i - coinValue[j]] + 1) {
                    min[i] = min[i - coinValue[j]] + 1;
                }
            }
            System.out.println("獲取" + i + "塊錢，最少須要的硬幣數：" + min[i] + ",執行的次數：" + count);
        }
        System.out.println(min[n]);
    }
}