動態規劃入門之硬幣問題

動態規劃算法一般基於一個遞推公式及一個或多個初始狀態。 當前子問題的解將由上一次子問題的解推出。使用動態規劃來解題只須要多項式時間複雜度， 所以它比回溯法、暴力法等要快許多。動態規劃也是面試筆試題中的一個考查重點，當閱讀一個題目而且開始嘗試解決它時，首先看一下它的限制。 若是要求在多項式時間內解決，那麼該問題就極可能要用DP來解。遇到這種狀況， 最重要的就是找到問題的「狀態」和「狀態轉移方程」。(狀態不是隨便定義的， 通常定義完狀態，你要找到當前狀態是如何從前面的狀態獲得的， 即找到狀態轉移方程)若是看起來是個DP問題，但你卻沒法定義出狀態， 那麼試着將問題規約到一個已知的DP問題。

這裏先說明一個最簡單的動態規劃實例：硬幣問題。後續還會給出更多的實例，例如：最長公共子序列，最長公共子串，最長遞增子序列，字符串編輯距離等。動態規劃的關鍵就是找出「狀態」和「狀態轉移方程」。

硬幣問題：給你一些面額的硬幣，而後給你一個值N，要你求出構成N所須要的最少硬幣的數量和方案。分析：這個問題能夠嘗試用貪心算法去解決，先從面額最大的硬幣開始嘗試，一直往下找，知道硬幣總和爲N。可是貪心算法不能保證可以找出解（例如，給,2,3,5,而後N=11）。咱們能夠換個思路，咱們用d(i)表示求總和爲i的最少硬幣數量（其實就是動態規劃中的「狀態」）,那麼怎麼從前面的狀態（並不必定是d(i-1)這一個狀態）到d(i)這個狀態？假設硬幣集合爲coins[0~N]，在求d(i)以前，咱們假設d(1~i-1)所有都求出來了，那麼d(i)=min{d(j)+1},if i-j 在coins中（其實這就是「狀態轉移方程」）。舉例說明：coins={2,3,5}，N=11。

d(0)=0;

d(1)=0;

d(2)=d(0)+1=1;

d(3)=d(0)+1=1;

d(4)=d(2)+1=2;

d(5)=min{d(3)+1,d(2)+1,d(0)+1}=1;

d(6)=min{d(4)+1,d(3)+1}=2;

.......................

同時爲了求出最後的方案（不單單是硬幣個數），須要記錄求每一個狀態選擇的「路徑」，例如:求d(5)咱們選擇了d(0)+1，那麼咱們選擇的路徑就是5-0=5。咱們必須記錄這些路徑，而後根據路徑得出結果。對於d(6)，咱們開始選擇了3,也就是說咱們選擇了從d(3)狀態和硬幣3跳轉到d(6),接着對於d(3)，咱們選擇了3，也就是說咱們選擇了從d(0)狀態和硬幣3跳轉到了d(3)，接着對於d(0)，這個是初始狀態。因此咱們的方案是3,3。

若是上面說得還不夠清晰，能夠參照下面JAVA實現的代碼

/** 
 *  
 * @author kerry 
 * 給定製定面值的硬幣 ，並給出一個值，要求求出硬幣綜合爲這個值須要的最少的硬幣的個數，並具體的方案 
 */  
public class MinCoins {  
  
    /** 
     * @param args 
     */  
    public static void main(String[] args) {  
        // TODO Auto-generated method stub  
        int[] coins={1,3,5};  
        int value=100;  
        int[] solu=new int[value];  
        int min=new MinCoins().solution(coins,value,solu);  
        for(int i=value-1;i>=0;){  
            System.out.print(solu[i]+"->");  
            i=i-solu[i];  
        }  
        System.out.println();  
        System.out.println(min);  
          
    }  
    private int solution(int[] coins,int value, int[] solu){  
        int[] mins = new int[value+1];  
        mins[0]=0;  
        for(int i=1;i<=value;i++) mins[i]=Integer.MAX_VALUE;  
        for(int i=1;i<=value;i++){  
            for(int j=0;j<coins.length;j++){  
                if(coins[j]<=i&&mins[i]>mins[i-coins[j]]+1){  
                    mins[i]=mins[i-coins[j]]+1;  
                    solu[i-1]=coins[j];  
                }  
            }  
        }  
        return mins[value];  
    }  
  
}