BZOJ3944: Sum（杜教篩模板）

BZOJ3944: Sum（杜教篩模板）

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題面描述

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題目分析

求\(\sum_{i=1}^{n}\mu(i)\)和\(\sum_{i=1}^{n}\varphi(i)\)

數據範圍線性不可作。

須要使用杜教篩。

杜教篩能夠在非線性時間裏求出一個積性函數的前綴和。

借這裏先寫一些杜教篩內容。。。或許之後會補總結（霧

最開始扔積性函數:

1. \(\mu(n)\),莫比烏斯函數
2. \(\phi(n)\)，歐拉函數。
3. \(d(n)\),約數個數。
4. \(\sigma(n)\),約數和函數。
5. \(\epsilon(n)\),元函數，其值爲\(\epsilon(n)=[n=1]\)。
6. \(id(n)\)，單位函數，\(id(n)=n\)。
7. \(I(n)\)，恆等函數，\(I(n)=1\)。

先放狄利克雷卷積的式子：

假設咱們如今有兩個數論函數\(f,g\)，則這兩個函數的卷積是\((f*g)(n)=\sum_{d\mid n}f(d)·g(\frac{n}{d})\)後面的括號表示範圍，通常不寫的時候能夠默認其爲\(n\)。

能夠推出狄利克雷卷積知足如下運算律

1. 交換律:\((f∗g=g∗f)\)；
2. 結合律:\(((f∗g)∗h=f∗(g∗h))\)；
3. 分配律:\(((f+g)∗h=f∗h+g∗h)\)；

能夠類比乘法運算律記憶。

那麼咱們能夠開始搞杜教篩了。

如今咱們要求一個積性函數\(f\)的前綴和，也就是\(\sum_{i=1}^{n}f(i)\)。

咱們嘗試構造兩個積性函數使\(h=f*g\)

那麼咱們求一下\(\sum_{i=1}^{n}h(i)\)。

先記\(Sum(n)\)爲\(\sum_{i=1}^{n}f(i)\)
則：
\[ \sum_{i=1}^{n}h(i)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d\mid i}g(d)f(\frac{i}{d}) \]

而後明顯能夠反過來枚舉。

\[ →\sum_{d=1}^{n}g(d)\sum_{d\mid i}f(\frac{i}{d}) \]

改爲枚舉\(\frac{i}{d}\)

\[ →\sum_{d=1}^{n}g(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}f(i)=\sum_{d=1}^{n}g(d)S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor) \]

而後把式子的第一項提出來，整個代回去。

\[ \sum_{i=1}^{n}h(i)=g(1)·S(n)+\sum_{d=2}^{n}g(d)·S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor) \]

移項
\[ g(1)·S(n)=\sum_{i=1}^{n}h(i)-\sum_{d=2}^{n}g(d)·S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor) \]

這樣\(g(1)\)明顯爲\(1\)，因此這個式子就很明顯了，只要\(h(i)\)的前綴和好求那麼這個式子就能夠在非線性時間裏求出來了。

由於\(h=f*g\)咱們換個形式表示上面的式子。

\[ →g(1)·S(n)=\sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)-\sum_{d=2}^{n}g(d)·S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor) \]

因此只要找到一個合適的\(g\)就好了。

看個例子，咱們這個題要求啥來着，\(\sum_{i=1}^{n}\mu(i)\)和\(\sum_{i=1}^{n}\varphi(i)\)

先看第一個。

就不推了，根據上面那個把\(f\)換成\(\mu\)直接代到最後面。

那麼應該怎麼給\(g\)取值呢，咱們能夠簡明扼要的先看一下那一項變成什麼了。

\[ →\sum_{i=1}^{n}(\mu*g)(i) \]

有一個好消息,咱們知道\(\mu*I=\epsilon\)。那麼能夠把上面的式子當作
\[ \sum_{i=1}^{n}(\mu*I)(i)=\sum_{i=1}^{n}\epsilon(i) \]

元函數的前綴和就很是好求，就是\(1\)，因此咱們求的答案

\[ S(n)=1-\sum_{d=2}^{n}g(d)·S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor) \]

再看第二個，咱們仍是相同的直接把\(\varphi\)代到最後面去。

則咱們有式子
\[ \sum_{i=1}^{n}(\varphi*g)(i) \]

思考一下，咱們記得歐拉函數有個有趣的性質\(\sum_{d|n}\varphi(d)=n\)

咱們把它用卷積的形式表達，就是\(\varphi*I=id\)

帶入剛纔的式子裏面。

\[ \sum_{i=1}^{n}(\varphi*g)(i)=\sum_{i=1}^{n}id(i) \]

明顯的小高斯5歲就會的那個數列求和。。。

這個東西是\(n·(n+1)/2\)應該都知道。。。

而後代碼實現的時候，能夠先篩出根號範圍內的答案，而後遞歸處理記憶化搜索。

因爲須要儲存下標很是大的值，因此須要使用哈希或者偷懶使用unordered_map,不要用map，會多一個log。

下面代碼實測BZOJ可過，注意少開long long

是代碼呢

#include <bits/stdc++.h>
#include <tr1/unordered_map>
using namespace std;
const int MAXN=4e6+7;
const int M=4e6;
#define ll long long 
bool vis[MAXN];
int mu[MAXN],sum1[MAXN];
ll phi[MAXN],sum2[MAXN];
int cnt,prime[MAXN];
tr1::unordered_map<ll,ll> w1;
tr1::unordered_map<int,short> w;
inline void get(int N)
{
    phi[1]=mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=N;i++){
        if(!vis[i]){
            prime[++prime[0]]=i;
            mu[i]=-1;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=prime[0];j++){
            if(i*prime[j]>N) break;
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            } else mu[i*prime[j]]=-mu[i],phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
    for(int i=1;i<=N;i++) sum1[i]=sum1[i-1]+mu[i],sum2[i]=sum2[i-1]+phi[i];
}
int djsmu(int x)
{
    if(x<=M) return sum1[x];
    if(w[x]) return w[x];
    int ans=1;
    for(int l=2,r;l<=x;l=r+1){
        if(r==2147483647) break;
        r=x/(x/l);
        ans-=(r-l+1)*djsmu(x/l);
    }
    return w[x]=ans;
}
ll djsphi(int x)
{
    if(x<=M) return sum2[x];
    if(w1[x]) return w1[x];
    ll ans=1ll*x*(1ll*x+1)/2;
    for(int l=2,r;l<=x&&l>=0;l=r+1){
        if(r==2147483647) break;
        r=x/(x/l);
        ans-=1ll*(r-l+1)*djsphi(x/l);
    }
    return w1[x]=ans;
}
inline int read()
{
    int x=0,c=1;
    char ch=' ';
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    while(ch=='-')c*=-1,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*c;
}
int main()
{
    int T=read();
    get(M);
    while(T--){
        int n;
        n=read();
        printf("%lld %d\n", djsphi(n),djsmu(n));
    }
}