數據結構與算法-學習筆記（17）

樹

沒有父節點的節點叫作根節點。沒有子節點的節點叫作葉子節點或葉節點。

關於樹還有三個類似概念：高度（Height）、深度（Depth）、層（Level）。

二叉樹

如何表示或者存儲一顆二叉樹

1. 基於指針的二叉鏈式存儲

只須要知道根節點，就知道了整棵樹。

2. 基於數組的順序存儲：更適合徹底二叉樹（浪費最少空間）

二叉樹的遍歷

三種方法：前序遍歷、中序遍歷、後序遍歷（前中後指的是根節點的位置）。遍歷是一個遞歸的過程。

遞歸公式：

前序遍歷的遞推公式：
preOrder(r) = print r->preOrder(r->left)->preOrder(r->right)

中序遍歷的遞推公式：
inOrder(r) = inOrder(r->left)->print r->inOrder(r->right)

後序遍歷的遞推公式：
postOrder(r) = postOrder(r->left)->postOrder(r->right)->print r

// 出口就是r=nil
複製代碼

typedef struct TreeNode {
    int data;
    struct TreeNode *left;
    struct TreeNode *right;
} Node;

void preOrder(Node *root) {
    if (!root) return;
    printf("%d",root->data);
    preOrder(root->left);
    preOrder(root->right);
}

void inOrder(Node *root) {
    if (!root) return;
    inOrder(root->left);
    printf("%d", root->data);
    inOrder(root->right);
}

void postOrder(Node *root) {
    if (!root) return;
    postOrder(root->left);
    postOrder(root->right);
    printf("%d",root->data);
}
複製代碼

遍歷的時間複雜度：每一個節點最多被訪問兩次，因此遍歷的時間複雜度跟節點個數n成正比，所以O(n)；

思考題

Q: 給定一組數據，能夠構建出多少種不一樣的二叉樹？

A：徹底二叉樹能夠存儲爲一個數組，則樹的排序也就是數組中n個數據的排序：n！

二叉查找樹

二叉查找樹支持快速查找、插入、刪除數據。

二叉查找樹的要求：在樹中的任意一個節點，其左子樹中的每一個節點值，都要小於這個節點的值，而右子樹中節點值都大於這個節點的值。所以不能有重複的數據。（左子樹<父節點<右節點）

查找

Node* search(Node *root, int data) {
    if (!root) return nil;
    if (data == root->data) {
        return root;
    } else if (data > root->data) {
        return search(root->right, data);
    } else {
        return search(root->left, data);
    }
    
}

Node * search2(Node *root, int data) {
    while (root != nil) {
        if (data == root->data) {
            return root;
        } else if (data > root->data) {
            root = root->right;
        } else {
            root = root->left;
        }
    }
    
    return nil;
}
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插入

相似查找。把新插入的數據放在葉子節點上，這樣既不影響二叉查找樹的特性，又不須要破壞本來樹的結構。

void insert(Node *root, int data) {
    if (!root) {
        // 注意結構體指針的賦值 Node *node = {data， nil， nil}不行的，此時node是個指針，卻把結構體值類型數據賦值給它了（int *a = 2❎）
        /* 平時
         ① NSObject *obj = [[NSObject alloc] init];
         obj 它也是一個指向NSObject類型對象數據的指針，[[NSObject alloc] init]返回的也是一個指針，而不是實際的對象的值
         ② char *b = "String";  "String"字符串常量，它返回給b的也是地址。
         ③ obj = nil;讓obj指針變量置空，也就是讓它指向空，nil是空指針的意思，不是讓obj所指向的數據置空
         */
        Node node = {data, nil, nil};
        root = &node;
    }
    while (root != nil) {
        if (data > root->data) {
            if (!root->right) {
                Node node = {data, nil, nil};
                root->right = &node;
                return;
            } else {
                root = root->right;
            }
        } else {
            if (!root->left) {
                Node node = {data, nil, nil};
                root->left = &node;
                return;
            } else {
                root = root->left;
            }
        }
    }
}
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刪除

分三種狀況：

1. 要刪除的節點沒有子節點，即葉子節點；
2. 要刪除的節點只有一個子節點；
3. 要刪除的節點有兩個子節點。

int delete(Node *root, int data) {
    if (!root) return -1;
    
    Node *preNode = nil;
    BOOL find = NO;
    while (root != nil) {
        if (root->data == data) {
            find = YES;
            break;
        }
        preNode = root;
        if (root->data > data) {
            root = root->left;
        } else {
            root = root->right;
        }
    }
    if (!find) return -1;
    
    if (!root->left && !root->right) {
        if (preNode->left == root) preNode->left = nil;
        else preNode->right = nil;
        return 1;
    }
    
    if (!root->left || !root->right) {
        Node *child = nil;
        if (!root->left) {
            child = root->right;
        } else {
            child = root->left;
        }
        if (preNode->left == root) preNode->left = child;
        else preNode->right = child;
        
        return 1;
    }
    
    Node *min = root->right;
    Node *preM = root;
    while (!min) {
        preM = min;
        min = min->left;
    }
    root->data = min->data;
    if (preM != root) {
        if (min->right) preM->left = min->right;
        else preM->left = nil;
    } else {
        preM->right = nil;
    }
    
    return 1;
    
}
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其餘操做

能夠快速排序：

中序遍歷二叉查找樹，能夠輸出有序數據列，O(n)。

支持重複數據的二叉查找樹

實際開發中每一個節點的數據能夠是一個更大的結構，如包含不少字段的對象，咱們利用某個字段做爲key來構建樹。

這樣若是存在相同鍵值的對象，怎麼解決：

1. 每一個節點不止能夠存儲一個數據，能夠存儲鏈表、數組等結構，key相同的數據都存儲在同一節點。

typedef struct TreeNode {
    int key;
    struct TreeNode *left;
    struct TreeNode *right;
    
    NSMutableArray *data;
} Node;
複製代碼

2. 每一個節點仍存儲一個數據，遇到相同節點，就當作大於當前節點，繼續向右走直到走到葉子節點，插入。（同理當作小於，向左走也能夠）這樣查詢和刪除就須要一直向下走直到走到葉子節點，把全部相同的找出、刪除。

時間複雜度

相同一組數據二叉查找樹的排列方式會有不少種：

對於極度不平衡的樹，他們已經接近鏈表了，查找插入刪除O(n)。

對於徹底二叉樹，時間複雜度和樹的層數L成正比。除了底層，每層包含的節點數2^(L-1)。

// 假設最大層數爲K
n >= 1+2+4+8+...+2^(K-2)+1
n <= 1+2+4+8+...+2^(K-2)+2^(K-1)
複製代碼

藉助等比數列求和公式，算出K的範圍[log2(n+1), log2n+1]，也就得出時間複雜度O(logn)

注：等比數列（每一項與它前一項的比都是同一個常數，也叫公比 q）

思考題

求樹的高度？

用遞歸的思想：height = Max（Height(left), Height(right)）+1;