C/C++ 哈夫曼樹與哈夫曼編碼

我的筆記，僅供複習

1.哈夫曼樹

1.1 定義：

 

• 帶權路徑長度(WPL)：設二叉樹有n個葉子結點，每一個葉子結點帶有權值W(k)，從根結點到每一個葉子結點的長度爲L(k)，則每一個葉子結點的帶權路徑長度之和就是：WPL = W(1)*L(1) + W(2)*L(2) + ... + W(k)*L(k)
• 最優二叉樹或哈夫曼樹：WPL最小的二叉樹

 

如上面三棵樹，第三顆的WPL最小，因此它是哈夫曼樹。

 

1.2 構造哈夫曼樹

1.2.1 思想：每次把權值最小的兩棵樹合併，合併後的新樹做爲新的結點再與其餘結點進行比較。

1.2.2 僞代碼：

                        (1)從全部結點的集合A中選出權值最小的兩個結點

                        (2)將這兩個結點合併成一棵樹，同時從集合A刪除這兩個結點，新結點的權值爲兩個子樹權值的和

                        (3)將新結點放回集合A，重複(1)，直到A爲空

1.2.3 代碼實例：

typedef struct TreeNode *HuffmanTree;
struct TreeNode{
	int Weight;
	HuffmanTree Left, Right;
}
HuffmanTree Huffman( MinHeap H )
{ /* 假設H->Size個權值已經存在H->Elements[]->Weight裏 */
	int i; HuffmanTree T;
	BuildMinHeap(H); /*將H->Elements[]按權值調整爲最小堆*/
	for (i = 1; i < H->Size; i++) { /*作H->Size-1次合併*/
		T = malloc( sizeof( struct TreeNode) ); /*創建新結點*/
		T->Left = DeleteMin(H);
		/*從最小堆中刪除一個結點，做爲新T的左子結點*/
		T->Right = DeleteMin(H);
		/*從最小堆中刪除一個結點，做爲新T的右子結點*/
		T->Weight = T->Left->Weight+T->Right->Weight;
		/*計算新權值*/
		Insert( H, T ); /*將新T插入最小堆*/
	}
	T = DeleteMin(H);
	return T;
}

1.2.4 代碼分析：

        以上代碼是用C語言的指針來建樹，同時用最小堆來存儲結點，方便每次找權值最小的結點。其中的MinHeap是最小堆的結構體的指針；DeleteMin()函數是對最小堆進行刪除最小權值結點，同時返回該結點地址的操做。

1.3 哈夫曼樹的特色：

 

• 沒有度爲1的結點
• n個葉子結點的哈夫曼樹共2n-1個結點
• 哈夫曼樹的任意非葉結點的左右子樹交換後還是哈夫曼樹

1.4 對同一組權值是否存在不一樣的兩顆哈夫曼樹？ 答：是。

2.哈夫曼編碼

2.1 背景：給定一段字符串，如何對字符進行編碼，可使得該字符串的編碼存儲空間最少？

2.2 分析：共三種方法

 

• 用等長ASCII編碼：58 ×8 = 464位；
• 用等長3位編碼：58 ×3 = 174位；
• 不等長編碼：出現頻率高的字符用的編碼短些，出現頻率低的字符則能夠編碼長些。

2.3 若是要進行不等長編碼須要考慮的問題：

 

• 如何避免編碼的二義性（即如何讓編碼意義惟一肯定，不會有歧義）
• 如何讓編碼代價最小（讓頻率高的編碼儘可能短，頻率低的能夠長點）

2.3.1 避免二義性：

        使任何字符的編碼都不是其餘字符編碼的前綴碼（例如，將0編碼爲1，那麼其餘字符編碼就不能以1開頭）。用二叉樹進行編碼，左分支定爲0，右分支爲1，字符只放在葉結點上。這樣就能夠肯定任一個字符編碼不是另外一個的前綴。

如上圖a、u、x、z的編碼分別爲：a:00,u:01,x:10,z:11

2.3.2 編碼代價最小：

        這樣問題就從如何讓編碼代價最小變成了如何讓二叉樹WPL最小。因而用哈夫曼樹來進行建樹，就可使編碼代價最小。