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插值、擬合和微分方程-python實現
問題1 車輛數量估計
題目描述
交通管理部門爲了掌握一座橋樑的通行狀況，在橋樑的一端每隔一段不等的時間，連續記錄1min內經過橋樑的車輛數量，連續觀測一天24h的經過車輛，車輛數據以下表所示。試創建模型分析估計這一天中總共有多少車輛經過這座橋樑。
python
python 實現(關鍵程序)
def get_line(xn, yn): def line(x): index = -1 # 找出x所在的區間 for i in range(1, len(xn)): if x <= xn[i]: index = i - 1 break else: i += 1 if index == -1: return -100 # 插值 result = (x - xn[index + 1]) * yn[index] / float((xn[index] - xn[index + 1])) + (x - xn[index]) * yn[ index + 1] / float((xn[index + 1] - xn[index])) return result return line time = [0, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.5, 11.5, 12.5, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24] num = [2, 2, 0, 2, 5, 8, 25, 12, 5, 10, 12, 7, 9, 28, 22, 10, 9, 11, 8, 9, 3] # 分段線性插值函數 lin = get_line(time, num) # time_n = np.arange(0, 24, 1/60) time_n = np.linspace(0, 24, 24*60+1) num_n = [lin(i) for i in time_n] sum_num = sum(num_n) print("估計一天經過的車輛：%d" % sum_num)
結果
問題2 舊車平均價格
題目描述
某年美國舊車價格的調查資料以下表所示，其中 x i x_i xi表示轎車的使用年數， y i y_i yi表示相應的平均價格。試分析用什麼形式的曲線擬合表中所給的數據，並預測使用4.5年後轎車的平均價格大體爲多少?
函數
Python 實現(關鍵程序)
from scipy.optimize import curve_fit def func(x, a, b, c): # 指數函數擬合 return a * (b**(x-1)) + c year = np.arange(1, 11, 1) price = [2615, 1943, 1494, 1087, 765, 538, 484, 290, 226, 204] popt, pcov = curve_fit(func, year, price) a = popt[0] b = popt[1] c = popt[2] price_fit = func(year, a, b, c)
結果
問題3 微分方程組求解
題目描述
求下列微分方程組(豎直加熱板的天然對流)的數值解
{ d 3 f d η 3 + 3 f d 2 f d η 2 − 2 ( d f d η ) 2 + T = 0 d 2 T d η 2 + 2.1 f d T d η = 0 \left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}^{3} f}{\mathrm{d} \eta^{3}}+3 f \frac{\mathrm{d}^{2} f}{\mathrm{d} \eta^{2}}-2\left(\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} \eta}\right)^{2}+T=0 \\ \frac{\mathrm{d}^{2} T}{\mathrm{d} \eta^{2}}+2.1 f \frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} \eta}=0\end{array}\right. ⎩⎨⎧dη3d3f+3fdη2d2f−2(dηdf)2+T=0dη2d2T+2.1fdηdT=0
已知當 η = 0 \eta=0 η=0時， f = 0 , d f d η = 0 , d 2 f d η 2 = 0.68 , T = 1 , d T d η = − 0.5 f=0, \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} \eta}=0, \frac{\mathrm{d}^{2} f}{\mathrm{d} \eta^{2}}=0.68, T=1, \frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} \eta}=-0.5 f=0,dηdf=0,dη2d2f=0.68,T=1,dηdT=−0.5 要求在區間[0,10]上畫出數值解的曲線。
spa
Python實現(關鍵程序)
from scipy.integrate import solve_ivp def natural_convection(eta, y): # 將含有兩個未知函數的高階微分方程降階，獲得由2+3個一階微分方程組成的方程組 T1 = y[0] T2 = y[1] f1 = y[2] f2 = y[3] f3 = y[4] return T2, -2.1*f1*T2, f2, f3, -3*f1*f3 + 2*(f2**2)-T1 eta = np.linspace(0, 10, 1000) eta_span = [0, 10] init = np.array([ 1, -0.5, 0, 0, 0.68]) curve = solve_ivp(natural_convection, eta_span, init, t_eval=eta)
結果
問題4 野兔數量
題目描述
某地區野兔的數量連續9年的統計數量(單位:十萬)以下表所示.預測t = 9, 10時野兔的數量。
3d
Python實現(關鍵程序)
import numpy as np year = np.arange(0, 9, 1) num = [5, 5.9945, 7.0932, 8.2744, 9.5073, 10.7555, 11.9804, 13.1465, 14.2247] fit = np.polyfit(year, num, 1) print("線性擬合表達式：", np.poly1d(fit)) num_fit = np.polyval(fit, year) plt.plot(year, num, 'ro', label='原始數據') plt.plot(year, num_fit, 'b-',label='擬合曲線') year_later = np.arange(8, 11, 0.5) num_fit_curve = fit[0] * year_later + fit[1]
結果