關於遞歸的一些經驗

時間 2019-12-12

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可能不少人在大一的時候，就已經接觸遞歸了，不過，我相信不少人剛開始接觸遞歸的時候，都是一臉懵逼的，由於我當初也是懵逼，遞歸給個人感受就是真的太神奇太奇妙了！java

可能也有一大部分人知道遞歸，也能看的懂遞歸，但在實際作題過程當中，殊不知道怎麼使用，由於不容易理解因此有時候還容易被搞暈。所以，我想寫一篇文章，談談個人一些經驗，或許，可以給大家帶來一些幫助。這裏我就從易到難開始講解。web

遞歸的三大要素

第一要素：明確你這個函數想要幹什麼

對於遞歸，我認爲很重要的一件事就是，這個函數的功能是什麼，它要完成什麼樣的一件事，而這個，是徹底由你本身來定義的。即，咱們先無論函數裏面的代碼是什麼，而是要先明白，這個函數是要用來幹什麼。數組

例如，我定義了下面這個函數：函數

// 算 n 的階乘(假設n不爲0)
int f(int n) {

}

這個函數的功能是算 n 的階乘。好了，咱們已經定義了一個函數，而且定義了它的功能是什麼，接下來咱們看第二要素。優化

第二要素：尋找遞歸結束條件

所謂遞歸，就是會在函數內部代碼中，調用這個函數自己，因此，咱們必需要找出遞歸的結束條件，否則的話，會一直調用本身，致使棧溢出。也就是說，咱們須要找出當參數爲某個值時，遞歸結束，而後直接把結果返回，這個時候咱們必須能根據這個參數的值，可以直接知道函數的結果是什麼。code

例如，上面那個例子，當 n = 1 時，f(1) = 1。完善咱們函數內部的代碼，把第二要素加進代碼裏面，以下:blog

// 算 n 的階乘(假設n不爲0)
int f(int n) {
    if(n == 1) 
        return 1;
}

有人可能會說，當 n = 2 時，那咱們能夠直接知道 f(n) 等於多少啊，那我能夠把 n = 2 做爲遞歸的結束條件嗎？排序

固然能夠，只要你以爲當參數爲什麼值時，可以直接知道函數的結果的時候，那麼你就能夠把這個參數做爲結束的條件，因此下面這段代碼也是能夠的：遞歸

// 算 n 的階乘(假設n>=2)
int f(int n) {
    if(n == 2) 
        return 2;
}

注意我代碼裏面寫的註釋，假設 n >= 2，由於若是 n = 1時，會被漏掉，當 n <= 2時，f(n) = n，因此爲了更加嚴謹，咱們能夠寫成這樣：class

// 算 n 的階乘(假設n不爲0)
int f(int n) {
    if(n <= 2) 
        return n;
}

第三要素：找出函數的等價關係式

第三要素就是咱們要不斷縮小參數的範圍，縮小以後，咱們能夠經過一些輔助的變量或操做，使原函數的結果不變。

例如，f(n) 這個範圍比較大，咱們可讓 f(n) = n * f(n - 1)。這樣，範圍就由 n 變成了 n-1 ，範圍變小了，而且爲了讓原函數f(n)的結果不變，咱們須要讓 f(n-1) 乘以 n。

說白了，就是要找到原函數的一個等價關係式，f(n) 的等價關係式爲 n * f(n - 1)，即f(n) = n * f(n - 1)。

找出了這個等價，繼續完善咱們的代碼，咱們把這個等價式寫進函數裏。以下：

// 算 n 的階乘(假設n不爲0)
int f(int n) {
    if(n <= 2)
        return n;
    
    // 把 f(n) 的等價操做寫進去
    return f(n - 1) * n;
}

至此，遞歸三要素都已經寫進了代碼裏，因此這個 f(n) 功能的內部代碼咱們已經寫好了。

這就是遞歸最重要的三要素，每次作遞歸的時候，你就強迫本身試着去尋找這三個要素。

下面來看幾個案例。

案例一：斐波那契數列

斐波那契數列的是這樣一個數列：一、一、二、三、五、八、1三、2一、34….，即第一項 f(1) = 1,第二項 f(2) = 1…..,第 n 項目爲 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。求第 n 項的值是多少。

一、遞歸函數的功能

假設 f(n) 的功能是求第 n 項的值，代碼以下：

int f(int n) {

}

二、找出遞歸結束的條件

顯然，當 n = 1 或者 n = 2 ,咱們能夠輕易着知道結果 f(1) = f(2) = 1。因此遞歸結束條件能夠爲 n <= 2。代碼以下：

int f(int n) {
    if(n <= 2)
        return 1;
}

三、找出函數的等價關係式

題目已經把等價關係式給咱們了，因此咱們很容易就可以知道 f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)。

因此最終代碼以下：

int f(int n) {
    // 1.先寫遞歸結束條件
    if(n <= 2)
        return 1;
    
    // 2.接着寫等價關係式
    return f(n - 1) + f(n - 2);
}

搞定，是否是很簡單？

案例二：小青蛙跳臺階

一隻青蛙一次能夠跳上1級臺階，也能夠跳上2級。求該青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法。

一、遞歸函數的功能

假設 f(n) 的功能是求青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法，代碼以下：

int f(int n) {

}

二、找出遞歸結束的條件

我說了，求遞歸結束的條件，你直接把 n 壓縮到很小很小就好了，由於 n 越小，咱們就越容易直觀着算出 f(n) 的多少，因此當 n = 1時，你知道 f(1) 爲多少吧？夠直觀吧？即 f(1) = 1。代碼以下：

int f(int n) {
    if(n == 1) 
        return 1;
}

三、找出函數的等價關係式

每次跳的時候，小青蛙能夠跳一個臺階，也能夠跳兩個臺階，也就是說，每次跳的時候，小青蛙有兩種跳法。

第一種跳法：第一次跳了一個臺階，那麼還剩下n-1個臺階還沒跳，剩下的n-1個臺階的跳法有f(n-1)種。

第二種跳法：第一次跳了兩個臺階，那麼還剩下n-2個臺階還沒，剩下的n-2個臺階的跳法有f(n-2)種。

因此，小青蛙的所有跳法就是這兩種跳法之和了，即 f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)。至此，等價關係式就求出來了。因而寫出代碼：

int f(int n) {
    if(n == 1) {
        return 1;

    return f(n - 1) + f(n - 2);
}

你們以爲上面的代碼對不對？

答是不大對，當 n = 2 時，顯然會有 f(2) = f(1) + f(0)。咱們知道，f(0) = 0，按道理是遞歸結束，不用繼續往下調用的，但咱們上面的代碼邏輯中，會繼續調用 f(0) = f(-1) + f(-2)。這會致使無限調用，進入死循環。

這也是我要和大家說的，關於遞歸結束條件是否夠嚴謹的問題，有不少人在使用遞歸的時候，因爲結束條件不夠嚴謹，致使出現死循環。也就是說，當咱們在第二步找出了一個遞歸結束條件的時候，能夠把結束條件寫進代碼，而後進行第三步，可是須要注意的是，當咱們第三步找出等價函數以後，還得再返回去第二步，根據第三步函數的調用關係，會不會出現一些漏掉的結束條件。就像上面，f(n-2)這個函數的調用，有可能出現 f(0) 的狀況，致使死循環，因此咱們把它補上。代碼以下：

int f(int n) {
    //f(0) = 0,f(1) = 1，等價於 n<=1時，f(n) = n。
    if(n <= 1)
        return n;

    ruturn f(n - 1) + f(n - 2);
}

有人可能會說，我不知道個人結束條件有沒有漏掉怎麼辦？別怕，多練幾道就知道怎麼辦了。

案例3：反轉單鏈表。

反轉單鏈表。例如鏈表爲：1->2->3->4，反轉後的鏈表爲： 4->3->2->1

鏈表的節點定義以下：

class Node{
    int data;
    Node next;
}

一、遞歸函數的功能

假設函數 reverseList(head) 的功能是反轉單鏈表，其中 head 表示鏈表的頭節點。代碼以下：

Node reverseList(Node head) {

}

2. 尋找結束條件

當鏈表只有一個節點，或者若是是空表時，直接把 head 返回。代碼以下：

Node reverseList(Node head) {
    if(head == null || head.next == null) 
        return head;
}

3. 尋找等價關係

這個題目的等價關係不像 n 是個數值那樣，比較容易尋找。可是我告訴你，在等價關係中，必定是範圍不斷在縮小的。對於鏈表來講，就是鏈表的節點個數不斷在變少。因此，若是你實在找不出，你就先對 reverseList(head.next) 遞歸走一遍，看看結果是怎樣的。例若有鏈表節點以下：

咱們就縮小範圍，先對 2->3->4遞歸下試試，即代碼以下

Node reverseList(Node head) {
    if(head == null || head.next == null)
        return head;
    
    // 咱們先把遞歸的結果保存起來，先不返回，由於咱們還不清楚這樣遞歸是對仍是錯
    Node newList = reverseList(head.next);
}

咱們在第一步的時候，就已經定義了 reverseList函數的功能：把一個單鏈表反轉。所以，咱們對 2->3->4反轉以後的結果應該是這樣的：

咱們把 2->3->4 遞歸成 4->3->2。不過，1 這個節點咱們並無去碰它，因此 1 的節點仍然是鏈接2節點。

接下來呢？該怎麼辦？

其實，接下來就簡單了，咱們接下來只須要把節點 2 的 next 指向 1，而後把 1 的 next 指向 null,不就好了？，即經過改變 newList 鏈表以後的結果以下：

也就是說，reverseList(head) 等價於 reverseList(head.next) + 改變一下1，2兩個節點的指向。好了，等價關係就這樣找出來了，代碼以下(有詳細的解釋)：

//用遞歸的方法反轉鏈表
 public static Node reverseList2(Node head) {
     // 1.遞歸結束條件，當head只有一個節點或爲空時，直接返回head
     if (head == null || head.next == null) 
              return head;
          
         // 遞歸反轉 子鏈表
         Node newList = reverseList2(head.next);
         // 改變 1，2節點的指向
         // 經過 head.next獲取節點2
         Node t1  = head.next;
         // 讓 2 的 next 指向 1
         t1.next = head;
         // 1 的 next 指向 null
         head.next = null;
         // 最後把反轉以後的鏈表直接返回
         return newList;
    }

這道題的第三步看的很懵？正常，由於你作仍是太少，可能沒有想到還能夠這樣，多練幾道就能夠了。可是，我但願經過這三道題，給了你之後用遞歸作題時的一些思路，你之後作題能夠按照我這個模式去想。經過一篇文章是不可能掌握遞歸的，還得多練，我相信，只要你認真看個人這篇文章，多看幾回，必定能找到一些思路！

接下來我講講有關遞歸的一些優化。

有關遞歸的一些優化思路

1. 考慮是否重複計算

若是你使用遞歸的時候不進行優化，是有很是多的子問題被重複計算的。

啥是子問題？ f(n-1),f(n-2)….就是 f(n) 的子問題了。

例如對於案例2那道題，f(n) = f(n-1) + f(n-2)。遞歸調用的狀態圖以下：

當進行遞歸計算的時候，重複計算了兩次 f(4)，五次 f(2）...... 這是很是恐怖的，n 越大，重複計算的就越多，因此咱們必須進行優化。

如何優化？通常咱們能夠把咱們計算的結果保存起來，例如把 f(4) 的計算結果保存起來，當再次要計算 f(4) 的時候，咱們先判斷一下，以前是否計算過，若是計算過，直接把 f(4) 的結果取出來就能夠了，沒有計算過的話，再遞歸計算。

用什麼保存呢？能夠用數組或者 HashMap 保存，咱們用數組來保存把，把 n 做爲咱們的數組下標，f(n) 做爲值，例如 arr[n] = f(n)。f(n) 尚未計算過的時候，咱們讓 arr[n] 等於一個特殊值，例如 arr[n] = -1。

當咱們要判斷的時候，若是 arr[n] = -1，則證實 f(n) 沒有計算過，不然， f(n) 就已經計算過了，且 f(n) = arr[n]。直接把值取出來就好了。代碼以下：

// 咱們假定arr數組已經初始化好了
int f(int n) {
    if(n <= 1)
        return n;
    
    //先判斷有沒計算過
    if(arr[n] != -1)
        //計算過，直接返回
        return arr[n];
    else {
        // 沒有計算過，遞歸計算,而且把結果保存到arr數組裏
        arr[n] = f(n - 1) + f(n - 1);
        reutrn arr[n];
    }
}

也就是說，使用遞歸的時候，必需要考慮有沒有重複計算，若是重複計算了，必定要把計算過的狀態保存起來。

2. 考慮是否能夠自底向上

對於遞歸問題，咱們通常都是從上往下遞歸的，直到遞歸到最底，再一層一層着把值返回。

不過，有時候當 n 比較大的時候，例如當 n = 10000 時，那麼必需要往下遞歸10000層直到 n <=1 纔將結果慢慢返回，若是n太大的話，可能棧空間會不夠用。

對於這種狀況，其實咱們是能夠考慮自底向上的作法的。例如我知道f(1) = 1和f(2) = 2，那麼咱們就能夠推出 f(3) = f(2) + f(1) = 3。從而能夠推出f(4),f(5)等直到f(n)。所以，咱們能夠考慮使用自底向上的方法來取代遞歸，代碼以下：

public int f(int n) {
       if(n <= 2)
           return n;
    
       int f1 = 1;
       int f2 = 2;
       int sum = 0;

       for (int i = 3; i <= n; i++) {
           sum = f1 + f2;
           f1 = f2;
           f2 = sum;
       }
       return sum;
   }

這種方法被稱之爲遞推，也叫迭代循環。