衝激函數與傅里葉變換

 

傅里葉變換是信號分析的基本工具，利用幾條已知的變換結果和一系列性質，其值並不難求；但要是追問公式裏的復指數和積分是怎麼來的，想給出一個直觀的解釋恐怕就沒那麼簡單了。我一直在尋找理解變換公式的簡單方法，然而結果要麼是教科書裏冗長的推導，要麼就是徹底圖形化，不涉及公式自己的解釋。直到最近電分課和我在看的一本無線通訊的書都講到了衝激函數(δ函數)，我才感到對公式的理解稍微更進了一步，因此趕忙把一些零散的想法記錄梳理一下。

1. 對二元函數的理解

通常理解二元函數的含義時，採起的解釋是函數值同時受兩個自變量變化的影響。可是也能夠以另外一種觀點來看：二元函數表示的是一種數到函數的映射，而一元函數則是數到數的映射——這有一點泛函的味道。再用直白的比喻來描述的話，能夠將二元函數f(x,y)比做是產生函數的機器，經過設定自變量x來產生一個特定的，自變量是y的一元函數。以電子學中常見的正弦信號複數表示舉例，f(ω,t)=e ^jωt是自變量爲w,t的二元複變函數。經過指定一個角頻率ω ₀，f就變爲一個表示角頻率爲ω ₀的一元函數f'(t)=e ^jω₀t。（注意這裏說的複數表示和下文中不同，這裏的復指數是電子學裏應用於廣義歐姆定律的表示法，實際值須要取實部。）

1. 三角函數的復指數表示

這節沒什麼好說的，純屬是正題的前置內容，瞭解的能夠跳過。經過歐拉公式Ae ^jωt=Acos(ωt)+Aj sin(ωt)易得Acos(ωt)=A/2 e ^jωt+A/2 e ^-jωt（sin的表示就先略過，有興趣本身推）。

1. 衝激函數和取樣性質

這節也是前置知識。單位衝激函數能夠理解爲一個積分爲1，中心在x=0，寬度無窮小的脈衝。衝激函數最重要的一條性質是取樣性質，也即衝激函數δ(x-x ₀)與任一函數f(x)的乘積δ(x-x ₀)f(x)在x=-∞到x=+∞上的積分的值等於f(x ₀)。直白地說即中心在x ₀上的單位衝激函數和f(x)相乘再對x積分後即獲得f(x)在x ₀處的值。取樣性質的證實很好理解也很容易找到，這裏略過。

1. 傅里葉反變換：怎麼產生指望的三角函數？

先說傅里葉反變換是由於其結果是時域上的三角函數（或其疊加），咱們相對熟悉不少。考慮頻域上的兩個衝激函數的疊加s(ω)=δ(ω-ω ₀)+δ(ω+ω ₀)（也即中心在±ω ₀處，相對y軸對稱的兩個單位衝激函數），若是已知這是一個時域上的餘弦函數f(t)=2cos(ω ₀t)的傅里葉變換，採起什麼樣的操做才能把這一函數s變回原來的函數f？傅里葉反變換說，將函數s與e ^jωt相乘，再在ω=-∞到ω=+∞上積分便可獲得f。利用取樣性質，咱們立刻意識到，這實際上就是取e ^jωt在ω=±ω ₀的值。可是取一個二元函數在一個自變量肯定時的值是什麼意思？回想第一節的內容，這其實是產生了兩個一元函數e ^±jω₀t。再結合第二節的公式，立刻獲得這兩個函數的和e ^jω₀t+e ^-jω₀t正是f(t)=2cos(ω ₀t)。 從第二節的角度再次理解傅里葉反變換實際上在作什麼。當指定ω時，e ^jωt就變成了一個產生某個特定版本的e ^jω₀t的「機器」。如今的問題是，經過何種操做，可讓這個「機器」產生的函數，正好能夠表示某一特定頻率ω ₀的餘弦函數？如今咱們知道了，這一操做是與兩個中心在±ω ₀處的衝激函數相乘再積分。

1. 傅里葉變換：怎麼產生指望的頻譜？

有了傅里葉反變換的經驗，咱們終於能夠回到傅里葉變換上了。 回想傅里葉反變換，咱們經過頻譜「定製」了「機器」e ^jωt的輸出，使其產生指望的三角函數。如今咱們但願經過三角函數「定製」另外一種「機器」，使其產生頻譜。傅里葉變換說，這臺「機器」是e ^-jωt，比反變換的那臺在指數上多了個負號。如今將ω ₀設爲0，考慮f(t)=2cos(ω ₀t)，也即e ^jω₀t+e ^-jω₀t和e ^-jωt的乘積。咱們發現f的值變爲了一常數2，該乘積結果爲2e ^-jωt。咱們暫時沒法計算這一函數在t=-∞到t=+∞上的（奇異）積分，但根據傅里葉反變換，能夠預見到，該積分的結果必定是一箇中心在ω=0處，積分爲2的衝激函數。而當ω ₀不爲零時，上述乘積變爲e ^j(ω+ω₀)t+e ^j(ω₀-ω)t，能夠想到其圖像是兩個單位衝激函數分別向正負平移ω ₀後的疊加。

1. 爲何是-jωt

無疑上一節的解釋多少仍是有讓人以爲牽強的地方：咱們沒有直接推導衝激函數是怎麼由復指數函數積分來的，更沒有像第四節裏那樣把指數jωt和結果聯繫起來，因此咱們要問，爲何傅里葉變換中e的指數是-jωt？換一種思路來看傅里葉反變換，函數s能夠當作一種「權」，而整個反變換能夠當作是將一系列ω不一樣的e ^jωt加權（相乘）再累加（積分）。若是但願還原這一操做的結果，獲得權函數s自己，就須要將剛纔乘上的e ^jωt消去——也就是乘上其倒數e ^-jωt。