計算機系統是如何存儲整數、小數、正數、負數的

計算機對外信息展現方式有文字、圖片、音頻、視頻等，但不論應用在什麼地方，信息在機器內部的形式都是一致的，即均爲0和1組成的各類編碼。

1、有符號數和無符號數

在計算機中參與運算的數有兩大類：無符號數和有符號數。

無符號數

計算機中的數均放在寄存器中，一般稱寄存器的位數爲機器字長。

所謂無符號數，即沒有符號的數，在寄存器中的每一位都可用來存放數值。當存放有符號數時，則需留出位置存放符號。

所以，在機器字長相同時，無符號數與有符號數所對應的數值範圍是不一樣的。

以機器字長爲16位爲例，無符號數的表示範圍爲 0~65535，而有符號數的表示範圍爲 -32768 ~ +32767（此數值對應補碼錶示）。

有符號數

對有符號數而言，符號的「正」、「負」機器是沒法識別的，但因爲「正」、「負」剛好是兩種大相徑庭的狀態，若是用「0「表示「正」，用「1」表示「負」，這樣符號也被數字化了，而且規定將它放在有效數字的前面，即組成了有符號數。
例如，+1100 在機器中表示爲 01100 ，-1100 在機器中表示爲 1 1100 。

在Java語言中，如 int、float 等都是有符號數，故下文所講都是在有符號數的範疇。

2、機器數與真值

把符號（如+、-）「數字化」的數稱爲機器數，而把帶「+」或「-」符號的數稱爲真值。

一旦符號數字化後，符號和數值就造成了一種新的編碼。在運算過程當中，符號位可否和數值部分一塊兒參加運算？若是參加運算，符號位又需做哪些處理？這些問題都與符號位和數值位所構成的編碼有關，這些編碼就是原碼、補碼、反碼和移碼。

原碼

原碼是機器數中最簡單的一種表示形式，符號位爲0的表示正數，符號位爲1的表示負數，數值位即真值的絕對值，故原碼錶示又稱爲帶符號的絕對值表示。

反碼

正數的反碼依舊等於原碼，負數的反碼是在其原碼的基礎上， 符號位不變，其他各個位取反。

補碼

正數的補碼碼依舊等於原碼，負數的補碼是在其原碼的基礎上， 符號位不變， 其他各位取反， 最後+1。 (即在反碼的基礎上+1)

移碼

同一個真值的移碼和補碼僅差一個符號位，若將補碼的符號位由「0」改成「1」，或從「1」改成「0」，便可得該真值的移碼。簡單說，不管正負數，只要將其補碼的符號位取反便可。

3、定點數與浮點數

在計算機中，小數點不用專門的器件表示，而是按約定的方式標出，共有兩種方法表示小數點的存在，即定點表示和浮點表示。定點表示的數稱爲定點數（如 java 語言中的 int），浮點表示的數稱爲浮點數（如 java 語言中的 float、double）。

定點數

小數點固定在某一位置的數爲定點數，有如下兩種格式。

當小數點位於數符和第一數值位之間時，機器內的數爲純小數；當小數點位於數值位以後時，機器內的數爲純整數。

採用定點數的機器稱爲定點機。數值部分的位數n決定了定點機中數的表示範圍。若機器數採用原碼，小數定點機中數的表示範圍是 -(1 - 2^-n) ~ (1 - 2^-n)，整數定點機中數的表示範圍是 -(2^n-1) ~ (2^n-1)。

浮點數

實際上計算機中處理的數不必定是純小數或純整數（如圓周率3.1416），並且有些數據的數值範圍相差很大（如電子的質量9×10-6g，太陽的質量2×103g），它們都不能直接用定點小數或定點整數表示，但都可用浮點數表示。浮點數即小數點的位置能夠浮動的數，如

352.47 = 3.5247 * 10^2 = 3524.7 * 10^-1

顯然，這裏小數點的位置是變化的，但由於分別乘上了不一樣的 10 的方冪，故值不變。

一般，浮點數被表示成 N = S * r^j ， 式中，S爲尾數（可正可負），j爲階碼（可正可負），r是基數（或基值）。在計算機中，基數可取2，四、8或16等。

浮點數的規格化形式爲 N = 0.110101 * 2^10。

浮點數在機器中的形式以下所示。

浮點數由階碼j和尾數S兩部分組成。階符表示階碼數值部分的正負，數符表示尾數數值部分的正負。階碼j反映了浮點數的表示範圍及小數點的實際位置。尾數是小數，其位數n反映了浮點數的精度。

定點數與浮點數的比較

定點數和浮點數可從以下幾個方面進行比較。

①當浮點機和定點機中數的位數相同時，浮點數的表示範圍比定點數的大得多。

②當浮點數爲規格化數時，其相對精度遠比定點數高。

③浮點數運算要分階碼部分和尾數部分，並且運算結果都要求規格化，故浮點運算步驟比定點運算步驟多，運算速度比定點運算的低，運算線路比定點運算的複雜。

④在溢出的判斷方法上，浮點數是對規格化數的階碼進行判斷，而定點數是對數值自己進行判斷。例如小數定點機中的數其絕對值必須小於1，不然「溢出」，此時要求機器中止運算，進行處理。爲了防止溢出，上機前必須選擇比例因子，這個工做比較麻煩給編程帶來不便。而浮點數的表示範圍遠比定點數大，僅當「上溢」時機器才中止運算，故通常沒必要考慮比例因子的選擇。

總之，浮點數在數的表示範圍、數的精度、溢出處理和程序編程方面（不取比例因子）均優於定點數。但在運算規則、運算速度及硬件成本方面又不如定點數。所以，究竟選用定點數仍是浮點數，應根據具體應用綜合考慮。通常來講，通用的大型計算機大多采用浮點數，或同時採用定、浮點數；小型、微型及某些專用機、控制機則大多采用定點數。當須要做浮點運算時，可經過軟件實現，也可外加浮點擴展硬件（如協處理器）來實現。

4、IEEE 754標準

現代計算機中，浮點數通常採用 IEEE 制定的國際標準，這種標準形式以下：

按 IEEE 標準，經常使用的浮點數有三種：

	符號位S	階碼	尾數	總位數
短實數	1	8	23	32
長實數	1	11	52	64
臨時實數	1	15	64	80

其中，S爲數符，表示浮點數的正負，但與其有效位（尾數）是分開的。

階碼的真值都被加上一個常數（偏移量），如短實數、長實數和臨時實數的偏移量用十進制數表示分別爲 12七、1023 和 16383。

尾數部分一般都是規格化表示，即寫成 1.xxxxxx 的形式，其中 xxxxxx 表示小數部分。IEEE 754規定，在計算機內部保存尾數時，默認這個數的第一位老是1，所以能夠被捨去，只保存後面的xxxxxx部分。

下面列出了十進制數 178.125 的實數表示。

實數表示		數值
原始十進制數		178.125
二進制數		10110010.001
二進制浮點表示		1.0110010001*2^111
	符號	偏移的階碼	有效值
短實數表示	0	0000 0111+0111 1111 =1000 0110	0110 0100 0100 0000 0000 000

注：二進制浮點數的基數是2；基數2的指數111是未偏移的階碼；有效值只保留了尾數的小數部分0110010001。

你也能夠編寫 java 程序來驗證在機器上浮點數是不是以 IEEE754 標準存儲的，示例代碼以下：

@Test
public void test(){
    int i = Float.floatToIntBits(178.125f);
    System.out.println(Integer.toBinaryString(i));
    //0 10000110 01100100010000000000000（符號+偏移的階碼+有效值）
}

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