圖論介紹（Graph Theory）

1 圖論概述

1.1 發展歷史

• 第一階段：

1736：歐拉發表首篇關於圖論的文章，研究了哥尼斯堡七橋問題，被稱爲圖論之父

1750：提出了拓撲學的第一個定理，多面體歐拉公式：V-E+F=2

• 第二階段（19~20世紀）：

1852: Francis Guthrie提出四色問題

1856: Thomas P. Kirkman & William R.Hamilton研究了哈密爾頓圖

1878: Alfred Kempe給出給出四色定理證實

1890: 希伍德（Heawood）推翻原有四色定理證實

1891: 彼得森（Petersen 丹麥）給出關於圖論的理論知識的第一篇論文

1936: 哥尼格(Dénes Kőnig Hungarian), 寫出第一本圖論專著《有限圖與無限圖的理論》，圖論成爲了一門獨立學科

• 第三階段（現代圖論）：

1941: F. P. Ramsey開創 Extremal graph theory

1959: Erd˝os and Rényi 引入隨機圖理論 （邊的存在的機率爲p）

1976: Kenneth Appel & Wolfgang Haken使用計算機最終證實了四色問題

 

1.2 參考教材

Graph Theory with Application - J.A. Bondy and U.S.R. Murty, Elsevier, 1976

《圖論及其應用》 經典教材，吳望名譯，有電子版

Graph theory - J.A. Bondy and U.S.R. Murty, Springer, 2008         

《圖論》GTM244，能夠認爲是 「Graph Theory with Application」 的第二版，推薦教材

Graph Theory, 5th - Reinhard Diestel, Springer, 2017

《圖論》GTM173，有電子版

Introduction to Graph Theory, 2nd- Douglas B. West, 2017

入門教材

 

2 ，圖的初步知識

（注：通常考慮simple graph (no graph loops or multiple edges), 且階大於等於2）

2.1 規則圖

Definition: 全部頂點的度相同的圖叫不規則圖 (irregular graph)

Definition: 只有一對頂點的度相同的圖叫幾乎不規則圖 (almost irregular graph)

 

Theorem:

1）不規則圖不存在

2）剛好存在兩個階數相同的幾乎不規則圖，且互爲補圖（頂點相同，邊合起來是徹底圖）

3）對於任意最大值爲n的正整數集合，存在n+1階的圖，使其頂點數正好等於這些整數

（以上結論不適用於多重圖和加權圖）

 

2.2 正則圖

Definition: 全部頂點的度爲r的圖叫 r-正則圖 (r-regular graph)

e.g. 單連通的0-regular是單個點，單連通的1-regular是一條邊的圖，單連通的2-regular是一個圈，單連通的3-regular稱爲立方圖

Theorem: n階r正則圖存在，只要r, n不都是奇數，且r<=n-1

 經常使用正則圖：

Kn: n階徹底圖，r = n-1

Cn: n(n>=3)階圈， r = 2

Qn: 2^n階的超立方體(n-cube), r = n

Kr,r: 2r階的二分圖

 

2.3 二分圖（bipartite graph）

Definition：頂點被分爲兩個集合，全部邊只在兩個集合之間鏈接的圖叫二分圖

Theorem：圖G是二分圖 <=> G中無奇圈

 

2.4 子圖

圖G，子圖（subgraph）H

subgraph ---> spanning subgraph

                ---> induced subgraph ---> vertex-delete subgraph

 spanning subgraph: 生成子圖，H和G的頂點相同

induced subgraph: 誘導子圖，H = G[S] (從圖中去除1個或多個頂點)

vertex-delete subgraph: 去頂點子圖，從圖中去除1個頂點

 

Theorem：任意圖均可以表示爲某個正則圖的導出子圖

 未解問題：給定某一圖G的全部去頂點子圖，是否可以重構出惟一的圖G（同構意義上是惟一的）？該

 

2.5 距離

Definition：連通圖（connected），由多個連通分支（component）構成的圖爲不連通圖（disconnected）。

G-v 比 G有更多的連通分支，則v稱爲G的割點（cut-vertex）

G-e 比 G有跟多的連通分支，則e稱爲G的橋（bridge）

 Theorem:

連通圖G，e是橋 <=> e不屬於G的任何一個圈 <=> 存在頂點u，v，使得任意路徑u-v的路徑通過e

連通圖G，w是割點 <=> 存在頂點u，v，使得任意路徑u-v的路徑通過w

 Definition：

頂點x-y之間的距離（distance）：全部x-y路徑的最小長度。

頂點v的離心率（eccentricity）：v到距離v最遠頂點u的距離，u被稱爲v的離心頂點（eccentric vertix）

中心頂點：G中離心率最小的頂點

 

2.6 Tree

Definition：不包含圈的連通圖爲樹（Tree）

Theorem：圖G是樹 <=> G中任意兩個頂點都有且只有一條連通路徑

n階樹有n-1條邊

在G內添加任意一條邊，就會造成一個迴路。

去掉任意一條邊，就再也不連通。

G內的任意兩個頂點能被惟一路徑所連通。

 一顆樹的每個節點均可以做爲根

Definition：葉子（leaf）：樹中度爲1的節點

Theorem：樹至少有兩個節點

 

Definition：生成樹（spanning graph）：圖G的生成子圖T是樹，則T稱爲G的生成樹

最小生成樹：加權邊之和最小的生成樹

克魯克斯算法：依次選擇最小權的邊，但保證不造成圈，能夠生成最小生成樹

 

3，圖的遍歷

Definition：

對於某個頂點序列（v1，v2，..., vk）

通路 (walk) ---> 路徑 (path) ---> 圈 (circle)

                          |                |

                         v               v

                ---> 跡 (trail)  ---> 迴路 (circuit)

 

閉合的含義：v₁=v_k

walk: 全部 v_i-v_i+1 都是圖的邊

path: 全部的頂點不重複，閉合path爲circle

trail: 全部邊不重複. 閉合trail爲circuit

注：path -> trail,  circle -> circuit

 

3.1 歐拉圖問題（遍歷全部邊不能重複，一筆畫問題）

歐拉回路 (Eulerian circuit): 包含G中全部邊的迴路

歐拉跡 (Eulerian trail or Eulerian tour): 包含G中全部邊的跡

包含一個歐拉回路的連通圖爲歐拉圖

 Theorem：

連通圖G是歐拉的 <=> 每一個頂點的度是偶數，（注：G能夠是多重圖）

連通圖G含有歐拉跡 <=> 圖G中剛好有兩個頂點是奇數度 （注：G能夠是多重圖，歐拉跡從這兩個奇數度的頂點開始和結束）

 

3.2 中國郵遞員問題（遍歷全部邊能夠重複）

Definition：歐拉通路：通過G的全部邊的最短閉通路

找到歐拉通路的方法：對奇數度的頂點添加多重邊，使每一個頂點的度都是偶數

Theorem：歐拉通路必定通過G中的橋兩次 （注：也便是是說講橋複製爲歐拉多重圖）

注：加權圖也能夠用相似思路解決

 

3.3，哈密爾頓問題 (遍歷全部點不能重複)

Definition：通過圖中全部頂點的圈爲哈密爾頓圈，包含哈密爾頓的圈爲哈密爾頓圖。

尚未任何理論能夠精確斷定一個圖是不是哈密爾頓圖，但已有以下結論

Theorem:

設G是一個n階圖，每一個頂點的度>=n/2, 則G爲哈密爾頓圖；

（奧爾定理）若是n階圖G中任意一對不相鄰的頂點的度數和大於等於n，則G是哈密爾頓圖；

若是G是哈密爾頓圖，那麼任意去掉G的k個頂點，剩餘的圖最多含有k個連通分支；

 

3.4 旅行商問題 （遍歷全部點能夠重複）(TSP)

TSP（Traveling Salesman Problem），經過優化算法求解

 

4，圖的匹配和分解

4.1 匹配（Matching）

（研究二分圖中兩個集合中元素的配對問題）

Definition: 一組互不相鄰的邊組成的集合叫作匹配（matching）（匹配的概念能夠用於全部的圖）

相異表明系：n個非空集合，每一個集合挑出一個元素，這n個元素互不相同。所以，集合繫有相異表明系，等價於對應的二分圖（集合系和元素組成二分圖的頂點集合）含有大小爲n的匹配。

 

（霍爾定理 Philip-Hall's Theorem）n個非空集合存在相異表明系 <=> 任意k個集合的並，含有很多於k個元素 （k=1,…,n）。

 

Definition: G中包含邊最多的匹配爲最大匹配

Definition: 匹配覆蓋了圖中全部的頂點的匹配爲完美匹配  (n階圖的完美匹配的大小爲n/2)

 

(塔特定理) 圖G有完美匹配 <=> 對於任意一個頂點的真子集S，都有 k₀(G-S) <= |S|,  其中k₀(G)表示G中奇數階連通分支的數量

 

1-regular graph有完美匹配

2-regular graph有完美匹配 <=> G中每一個連通分支都是一個偶階圈

3-regular graph（立方圖） （彼得森定理）每一個無橋立方圖含有一個完美匹配

 

4.2 正則圖的1-因子分解

Definition：

圖G的1-正則生成子圖稱爲1-因子圖 （1-因子圖的邊爲圖G的完美匹配）

圖G的邊集合能夠表示爲多個1-因子圖的劃分，則G稱爲1-因子分解圖

 

由定義可知，每一個1-因子分解圖一定是一個偶數階的r-正則圖

注：反之不成立，例如彼得森圖（10階3-正則圖）不是1-因子分解圖

Theorem：偶數階徹底圖是1-因子分解圖；

猜測：若G是n階r-正則圖，且r>=n/2，則G是1-因子分解圖。可分解爲r個1-因子圖

 

4.3 正則圖的2-因子分解（圈分解）

Theorem：

（彼得森給出證實）圖G是2-因子分解圖 <=> G是r-正則，r爲偶數；

 

徹底圖的分解定理（2012年證實，以前爲阿爾斯波猜測）

（布萊恩特-霍斯利-彼得森定理）

1，n爲奇數 (n>=3)，m1+m2+…+mt = n(n-1)/2, Kn能夠分解爲Cm1, Cm2, … , Cmt；

2，n爲偶數 (n>=4)，m1+m2+…+mt = n(n-2)/2, Kn-M能夠分解爲Cm1, Cm2, … , Cmt ，其中M是Kn中的一個完美匹配；

推論：n爲奇數，且m能夠整除n(n-1)/2，那麼Kn爲Cm-可分解圖；

再推論：n爲奇數，Kn是哈密爾頓因子分解圖（每一個圈是哈密爾頓圈）

 應用：

斯坦納三元系（Steiner triple systems）問題

n個元素，每3個元素爲一組（稱爲三元組）， 每一對元素剛好落在一個三元組中，這個分組稱爲斯坦納三元系

等價於將Kn分解爲多個C3

 

5，圖的畫法（可平面圖，交叉點數）

Definition：若是圖G能在平面上畫出來，且任何兩條邊不相交，則稱G爲可平面圖（planar graph），將可平面圖在平面上畫出獲得的圖爲平面嵌入圖（planar embedding）或平面圖；

Three Houses and Three Utilities Problem等價爲K3,3 是否是可平面圖

最大平面圖的區域都是三角形

 

歐拉多面體公式：V-E+F=2

多面體能夠投影到平面上造成多面體的平面圖

歐拉恆等式：G是連通的平面嵌入圖，有n個頂點、m條邊、r個區域，則n-m+r=2

 

Theorem：平面圖G，則m<=3n-6，其中n爲階數，m爲邊數

推論：每一個平面圖都包含一個不超過5度的頂點；

 

（如下兩個定理等價）

庫拉托夫斯基定理：圖G是可平面圖 <=> G不包含K5和K3,3的剖分子圖做爲其子圖

注：在圖G的邊上插入任意個（能夠是0個）2度的頂點獲得的圖稱爲G的剖分子圖

瓦格納定理：圖G是可平面圖 <=> K5和K3,3都不是G的縮圖

注：將圖G中的某條邊收縮爲一個頂點，並刪除重疊的頂點和邊，造成的圖爲縮圖（剖分圖，則H是G的縮圖）

 縮圖定理：對於任意一個含有無限個圖的圖集合，一定有一個圖是另外一個圖的縮圖

 

Definition：把圖G畫在平面上，產生的最少交叉點數目稱爲圖G的交叉數cr(G) （crossing number）

Definition：把圖G用直線畫在平面上，產生的最少交叉點數目稱爲圖G的直線段交叉數cr_(G) （rectilinear crossing number）

 

Theorem：cr(G) >= m-3n+6

cr(Kn) <= ¼ floor(n/2) floor((n-1)/2) floor((n-2)/2) floor((n-3)/2), 其中，當n<=12，上式中的等號成立

 

（法裏定理）可平面圖能夠用直線畫法無交叉點，即cr_(G) = 0

 

6，圖的着色（頂點着色，邊着色）

四色定理：每一個可平面圖的頂點可以以四種或更少的顏色被着色，且每兩個相鄰頂點的顏色不一樣