java遞歸求八皇后問題解法

時間 2019-11-18

標籤 java 遞歸皇后問題解法欄目 Java 简体版

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八皇后問題

八皇后問題，是一個古老而著名的問題，是回溯算法的典型案例。該問題是國際西洋棋棋手馬克斯·貝瑟爾於1848年提出：在8×8格的國際象棋上擺放八個皇后，使其不能互相攻擊，即任意兩個皇后都不能處於同一行、同一列或同一斜線上，問有多少種擺法。高斯認爲有76種方案。1854年在柏林的象棋雜誌上不一樣的做者發表了40種不一樣的解，後來有人用圖論的方法解出92種結果。算法

網上有不少八皇后的小遊戲，不清楚規則的能夠點擊這裏體驗一把。數組

遞歸理解

因爲咱們使用經典的遞歸回溯算法，因此要先理解遞歸的調用過程，在使用遞歸前咱們先看下普通方法的調用過程在JVM中如何體現。首先咱們來看下jvm中五個重要的空間，以下圖所示jvm

這裏咱們主要關注棧區，當調用某個方法時會在棧區爲每一個線程分配獨立的棧空間,而每一個方法都會以棧幀的形式壓入棧中，即每一個方法從進入到退出都對應着一個棧幀的壓棧和出棧。以下圖所示spa

在每一個棧幀中都會有方法獨立的局部變量表，操做數棧，動態鏈接，返回地址等信息。以下圖所示線程

理解了jvm程序棧的結構後，下面咱們以圖解的方式先講解一下普通方法(理解普通方法調用過程後，再講解遞歸的調用過程)的調用過程。3d

假設程序main方法首先調用了method1，在method1中調用了method2，在method2中調用method3。代碼以下code

 1 public static void main(String []args){
 2         method1();
 3     }
 4     
 5     private static void method1(){
 6         System.out.println("method1調用開始");
 7         method2();
 8         System.out.println("method1調用結束");
 9     }
10 
11     private static void method2(){
12         System.out.println("method2調用開始");
13         method3();
14         System.out.println("method2調用結束");
15     }
16     private static void method3(){
17         System.out.println("method3調用開始");
18         System.out.println("method3調用結束");
19     }

　　當執行main方法時，會執行如下步驟blog

　　1）首先將main方法壓入棧中，在main方法中調用method1，方法mehod1會壓入棧中，並執行打印「method1調用開始」遞歸

　　2）執行到第7行時，將method2壓入棧中，執行method2方法的代碼打印出「method2調用開始」遊戲

　　3）執行到第13行時調用method3方法，將method3方法壓入棧中，執行method3方法打印「method3調用開始」，方法壓入棧中的過程圖解，以下圖所示

　　當執行到圖4中的method3方法打印出「method3調用開始」後會執行如下步驟

　　1）method3執行打印「method3調用結束」後method3方法體已所有執行完畢，method3方法會出棧，並根據棧幀中程序計數器記錄的調用者調用本方法的所在行返回。即返回到method2的13行

　　2）執行method2第14行，打印出「method2調用結束」。method2方法體執行完畢，method2方法出棧，返回到method1的第7行

　　3）執行method1第8行，打印出method1調用結束。method1方法出棧，返回到main方法中第2行，main方法執行完畢，main方法出棧，整個程序運行結束

　　對應圖解以下

　　根據上面的流程可知程序的運行結果爲：

　　method1調用開始

　　method2調用開始

　　method3調用開始

　　method3調用結束

　　method2調用結束

　　method1調用結束

　理解了普通方法的調用過程後，下面咱們來說解遞歸方法的調用過程，咱們都知道遞歸調用就是方法調用本身，固然咱們也能夠套用上面普通方法的流程，主觀認爲它是調用別的方法。

　下面以一個求n的階乘的遞歸方法爲例講解調用過程，代碼以下

 1 public static void main(String []args){
 2         System.out.println(fn(5));
 3     }
 4 
 5     private static int fn(int n){
 6         if(n == 1){
 7             return 1;
 8         }
 9         return fn(n-1)*n;
10     }

　下面還以圖解的方式講解遞歸的執行過程，爲了好區分每次遞歸的過程，咱們以傳入的參數標示fn方法，如n=5時，咱們假定調用fn5方法。調用過程以下圖所示

　方法的調用扔以壓棧的方式進行，調用fn(5)時，fn5壓棧，而求fn(5)須要先調用fn(4)，從而fn4壓棧，依此類推，直到fn(1)方法壓棧，此時if(n==1)條件成立，fn(1)方法返回。以下圖

　　　　　　　　圖10　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　圖11　　　　　　　　　　　　　　　圖12　　　　　　　　　　　　　　　　　　圖13

　　　　　　　　圖14

　　執行到圖14後，遞歸的執行過程結束，並將結果5*4*3*2*1的結果返回給main方法並輸出，結果爲120。

　　以上就是遞歸的執行過程分析，其實跟普通方法的調用過程同樣，只不過遞歸調用的方法是本身而已。

　　好了，終於到了本文的重點了(鋪墊作的太多)，遞歸回溯法求八皇后解法問題

八皇后問題解法

　　問題分析

　　1）用代碼求解八皇后問題的前提，咱們要先構造出來一個8*8的二維數組，但因爲八皇后問題的條件限制----任意兩個皇后不能同行，因此咱們可以使用一個8位一維數組表示棋盤，一維數組的第n個元素即表明第n-1(從第0行開始)行，第n個元素的值即表明第n行的列值，如：0 4 7 5 2 6 1 3 ，其中0表示第0行第0列，4表示第2行第5列，7表示第3行第8列，以此類推。

　　2）咱們在求解的過程當中，每添加一個皇后，行數加1，因此不會出現任意兩個皇后處在同一行的狀況，因此咱們只需判斷任意兩個皇后不在同一列，也不在同一斜線上便可。

　　3）從第0行第0列開始放第一個皇后，依此循環8個皇后，並在下一行判斷，只要不跟前面全部皇后在同一列或同一斜線上便可放置皇后。

　　代碼實現

 1 /**
 2  * 遞歸法解決八皇后問題
 3  */
 4 public class BaHuangHou {
 5     private final static int max = 8;
 6     private static int array[] = new int[max];
 7     private static int count = 0;
 8     public static void main(String []args){
 9         //定義一個一位數組表示八皇后的棋盤(第n個表明第n行，值表明第n行的第m列)
10 
11         check(0);
12         System.out.printf("總共有%d種解法\n",count);
13     }
14 
15     /**
16      * 放置第n個皇后
17      * @param n
18      * @return
19      */
20     private static void check(int n){
21         if(n == max){
22             print(array);
23             return;
24         }
25         for(int i=0; i<max; i++){
26             array[n] = i;
27             if(judge(n)){
28                 check(n+1);
29             }
30         }
31     }
32     /**
33      * 判斷第n個皇后是否與以前的衝突
34      * @param n
35      * @return
36      */
37     private static boolean judge(int n){
38         for(int i=0; i<n; i++){
39             if(array[i] == array[n] || Math.abs(n-i) == Math.abs(array[n] - array[i])){
40                 return false;
41             }
42         }
43         return true;
44     }
45 
46     /**
47      * 打印數組值
48      * @param array
49      */
50     public static void print(int array[]){
51         for (int i = 0; i <max; i++) {
52             System.out.print(array[i]+" ");
53         }
54         count ++ ;
55         System.out.println();
56 
57     }
58 }

　　代碼分析

　　首先咱們定義了一個8個元素的一維數組 array ，用來表示一個8*8的棋盤。

　　1）先來看下判斷皇后是否與前面衝突(即在同一列或同一斜線)的judge方法：

　　　　if(array[i] == array[n] || Math.abs(n-i) == Math.abs(array[n] - array[i]))

　　　　第一個條件array[i] == array[n]，因一維數組的值即表明所在行的所在列值，因此若是值相同，則表明在同一列。

　　　　第二個條件Math.abs(n-i) == Math.abs(array[n] - array[i])，n-i表示兩個皇后相差幾行，array[n]-array[i]表示相差幾列，若是相差行等於相差，則這兩個皇后能構成一個正方形，即在同一斜線上。

　　2）在來看執行判斷過程的check方法：

 1 private static void check(int n){
 2         if(n == max){
 3             print(array);
 4             return;
 5         }
 6         for(int i=0; i<max; i++){
 7             array[n] = i;
 8             if(judge(n)){
 9                 check(n+1);
10             }
11         }
12     }

　　第2行的if()條件判斷，用於表示一次求解過程的結束。當n==max即n=8時，即表示前面已經放置了8個皇后（n從0開始）。

　　第6行的for循環，表示從第0行的第0列開始放第一個皇后，一直到第0行的第7列遍歷出全部第0行的皇后擺放方法。同理，執行到n=1時，表示放置第二個皇后，即第2行的擺放方法，只要第二行不跟第一行衝突，就在第三行放置第3個皇后，以此類推直到放置第7行的第八個皇后。若是在某行遍歷完所在行的全部列，均與前面的皇后衝突，說明前面的擺放不能求解出一個八皇后解法，此時該行的循環執行結束，該行所在的方法出棧，回溯到前面一行的方法執行。前面一行繼續執行for循環的i++，當i++後即該行皇后向後一個位置移動，若是不跟前面的全部皇后衝突，則再進入下一行的下一個皇后從第0列開始擺放，依此類推。

　　當獲得一個正確解法後，n=8所在方法出棧(參考前面講解的遞歸方法入棧出棧)，執行n=7（第8個皇后）所在方法的for循環，繼續執行i++，查看最後一行的皇后後面列是否還有正確解法，若是有則輸出，若是沒有則該行所在方法出棧，進而執行n=6（第7個皇后）所在方法的for循環，繼續執行i++。依此類推

　　用文字描述稍微有點抽象，不過若是理解了咱們前面講解的遞歸方法的執行過程，理解起來仍是比較容易的。這裏使用了for循環求解八皇后的全部解法，因此相對會難以理解。

　圖解的方式理解八皇后解法（虛線圓表示不能擺放，用實線圓形表示能夠擺放）

　　在main方法中調用check(0)後，n=0的check方法入棧，並執行for循環的i=0，array[0]=0，即第一個皇后擺放在第0行第0列，此時程序棧和棋盤狀況以下圖所示　　

　　因爲這時是第一個皇后，因此確定沒有衝突，但要記住n=0時的check方法的for循環只進行到i=0，便調用check(1)，調用下一個皇后的擺放判斷，此時程序棧和棋盤狀況以下圖所示

　　當n=1的check方法入棧後，執行for循環方法，因爲i=0和i=1均會與第一個皇后衝突，因此這兩個位置不能擺放，此時n=1的check方法的for循環執行到i=2。第二個皇后擺放後，會調用check(2)，則n=2的check方法入棧，此時程序棧和棋盤狀況以下圖所示

　　第n=2的check方法入棧後，執行for循環方法，在i<4以前的全部位置均會與前面兩個皇后衝突，因此只能放在i=4的位置。此時n=2的check方法的for循環執行到i=4。調用check(3)，則n=3的check方法入棧，此時程序棧和期盼狀況以下圖所示

　　n=3的所在行擺放皇后以後，調用check(4)的方法，此時n=2的check方法的for循環執行到i=4。

　　依此類推，直到執行到n=5時，for循環執行完全部遍歷，發現均與前面的皇后衝突，以下圖所示

　　當n=5的for循環執行完後，check(5)方法出棧，回溯到check(4)的方法繼續執行for循環，前面咱們知道check(4)的for循環i執行到i=3，因此從i=3繼續執行i++，以下圖所示

　　能夠看出n=4的check方法執行到i=7時，才能知足不與前面的皇后衝突，這時會繼續調用check(5)方法，即n=5的check方法再次入棧，以下圖所示

　　能夠看出n=5時，所在行的全部列均沒法擺放皇后，所示n=5的check方法再次出棧，而n=4的check方法的for循環也執行到i=7，因此check(4)方法也會出棧，進而執行n=3的for循環，而咱們以前記錄能夠看到n=3的for循環執行到i=1，因此繼續執行i++，並依此判斷是否與前面的皇后衝突。

　　從上面的過程咱們能夠看到，當棧頂方法所在行的全部列均不能擺放皇后時，會回溯到前面的行執行。

　　下面咱們在用一個擺放成功的案例來說解回溯過程，例如，0 4 7 5 2 6 1 3 即(0,0) (1,4) (2,7) (3,5) (4,2) (5,6) (7,1) (8,3)的擺法，此時程序棧和棋盤以下圖所示

　　能夠看到，n=7時第八個皇后擺放成功，會調用check(8)，進而知足if(n==8)條件，因此check(8)方法出棧，繼續執行n=7的check方法，而此時n=7的for循環i=3，繼續執行i++，看n=7的所在行的後面的列是否還有能擺放成功的。若是沒有則n=7的check方法執行完畢，回溯到n=6的方法，依此類推，知道全部的八皇后解法所有求出。