找出無序數組中最小的k個數（top k問題）
給定一個無序的整型數組arr，找到其中最小的k個數程序員
該題是互聯網面試中十分高頻的一道題，若是用普通的排序算法，排序以後天然能夠獲得最小的k個數，但時間複雜度高達O(NlogN)，且普通的排序算法均屬於內部排序，須要一次性將所有數據裝入內存，對於求解海量數據的top k問題是無能爲力的。面試
針對海量數據的top k問題，這裏實現了一種時間複雜度爲O(Nlogk)的有效算法：初始時一次性從文件中讀取k個數據，並創建一個有k個數的最大堆，表明目前選出的最小的k個數。而後從文件中一個一個的讀取剩餘數據，若是讀取的數據比堆頂元素小，則把堆頂元素替換成當前的數，而後從堆頂向下從新進行堆調整；不然不進行任何操做，繼續讀取下一個數據。直到文件中的全部數據讀取完畢，堆中的k個數就是海量數據中最小的k個數（若是是找最大的k個數，則使用最小堆）。具體過程請參看以下代碼：算法
public class FindKMinNums {
/**
* 維護一個有k個數的最大堆，表明目前選出的最小的k個數
*
* @param read 實際場景中，read提供的數據須要從文件中讀取，這裏爲了方便用數組表示
* @param k
* @return
*/
public static int[] getKMinsByHeap(int[] read, int k) {
if (k < 1 || k > read.length) {
return read;
}
int[] kHeap = new int[k];
for (int i = 0; i < k; i++) { // 初始時一次性從文件中讀取k個數據
kHeap[i] = read[i];
}
buildHeap(kHeap, k); // 建堆，時間複雜度O(k)
for (int i = k; i < read.length; i++) { // 從文件中一個一個的讀取剩餘數據
if (read[i] < kHeap[0]) {
kHeap[0] = read[i];
heapify(kHeap, 0, k); // 從堆頂開始向下進行調整，時間複雜度O(logk)
}
}
return kHeap;
}
/**
* 建堆函數
*
* @param arr
* @param n
*/
public static void buildHeap(int[] arr, int n) {
for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--) {
heapify(arr, i, n);
}
}
/**
* 從arr[i]向下進行堆調整
*
* @param arr
* @param i
* @param heapSize
*/
public static void heapify(int[] arr, int i, int heapSize) {
int leftChild = 2 * i + 1;
int rightChild = 2 * i + 2;
int max = i;
if (leftChild < heapSize && arr[leftChild] > arr[max]) {
max = leftChild;
}
if (rightChild < heapSize && arr[rightChild] > arr[max]) {
max = rightChild;
}
if (max != i) {
swap(arr, i, max);
heapify(arr, max, heapSize); // 堆結構發生了變化，繼續向下進行堆調整
}
}
public static void swap(int[] arr, int i, int j) {
int tmp = arr[i];
arr[i] = arr[j];
arr[j] = tmp;
}
public static void printArray(int[] arr) {
for (int i = 0; i <= arr.length; i++) {
System.out.print(arr[i] + " ");
}
System.out.println();
}
public static void main(String[] args) {
int[] arr = {6, 9, 1, 3, 1, 2, 2, 5, 6, 1, 3, 5, 9, 7, 2, 5, 6, 1, 9};
// sorted : { 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 9, 9, 9 }
printArray(getKMinsByHeap(arr, 10));
}
}
對於從海量數據(N)中找出TOP K，這種算法僅需一次性將k個數裝入內存，其他數據從文件一個一個讀便可，因此它是針對海量數據TOP K問題最爲有效的算法api
對於非海量數據的狀況，還有一種時間複雜度僅爲O(N)的經典算法 —— BFPRT算法，該算法於1973年由Blum、Floyd、Pratt、Rivest和Tarjan聯合發明，其中蘊含的深入思想改變了世界。數組
BFPRT算法解決了這樣一個問題：在時間複雜度O(N)內，從無序的數組中找到第k小的數。顯而易見的是，若是咱們找到了第k小的數，那麼想求arr中最小的k個數，只需再遍歷一遍數組，把小於第k小的數都蒐集起來，再把不足部分用第k小的數補全便可。函數
BFPRT算法是如何找到第k小的數？如下是BFPRT算法的過程，假設BFPRT算法的函數是int select(int[] arr, int k)，該函數的功能爲在arr中找到第k小的數，而後返回該數。select(arr, k)的過程以下：優化
-
將arr中的n個元素劃分紅 n/5 組，每組5個元素，若是最後的組不夠5個元素，那麼最後剩下的元素爲一組（n%5 個元素）。時間複雜度O(1)ui
-
對每一個組進行排序，好比選擇簡單的插入排序，只針對每一個組最多5個元素之間的組內排序，組與組之間不排序。時間複雜度 N/5O(1)code
-
找到每一個組的中位數，若是元素個數爲偶數能夠找下中位數，讓這些中位數組成一個新的數組，記爲mArr。時間複雜度O(N/5)排序
-
遞歸調用
select(mArr, mArr.length / 2)，意義是找到mArr這個數組的中位數x，即中位數的中位數。時間複雜度T(N/2) -
根據上面獲得的x劃分整個arr數組（partition過程），劃分的過程爲：在arr中，比x小的都在x左邊，比x大的都在x右邊，x在中間。時間複雜度O(N)
-
假設劃分完成後，x在arr中的位置記爲i，關於i與k的相對大小，有以下三種狀況：
- 若是 i = k，說明x爲整個數組中第k小的數，直接返回。時間複雜度O(1)
- 若是 i < k，說明x處在第k小的數左邊，應該在x的右邊繼續尋找，因此遞歸調用select函數，在右半區尋找第k-i小的數。時間複雜度不超過T(7/10N + 6)
- 若是 i > k，說明x處在第k小的數右邊，應該在x的左邊繼續尋找，因此遞歸調用select函數，在左半區尋找第k小的數。時間複雜度一樣不超過T(7/10N + 6)
上述過程的代碼實現以下：
public class FindKMinNums {
/**
* 先用BFPRT算法求出第k小的數，再遍歷一遍數組才能求出最小的k個數，時間複雜度O(N)
* 須要將全部數據一次性裝入內存，適用於非海量數據的狀況
*
* @param arr
* @param k
* @return
*/
public static int[] getKMins(int[] arr, int k) {
if (k < 1 || k > arr.length) {
return arr;
}
int kthMin = getKthMinByBFPRT(arr, k); // 使用BFPRT算法求得第k小的數，O(N)
int[] kMins = new int[k]; // 下面遍歷一遍數組，利用第k小的數找到最小的k個數，O(N)
int index = 0;
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
if (arr[i] < kthMin) { // 小於第k小的數，必然屬於最小的k個數
kMins[index++] = arr[i];
}
}
while (index < k) {
kMins[index++] = kthMin; // 不足部分用第k小的數補全
}
return kMins;
}
/**
* 使用BFPRT算法求第k小的數
*
* @param arr
* @param k
* @return
*/
public static int getKthMinByBFPRT(int[] arr, int k) {
int[] arrCopy = copyArray(arr); // 在獲得第k小的數以後還要遍歷一遍原數組，因此並不直接操做原數組
return select(arrCopy, 0, arrCopy.length - 1, k - 1); // 第k小的數，即排好序後下標爲k-1的數
}
/**
* 拷貝數組
*
* @param arr
* @return
*/
public static int[] copyArray(int[] arr) {
int[] arrCopy = new int[arr.length];
for (int i = 0; i < arrCopy.length; i++) {
arrCopy[i] = arr[i];
}
return arrCopy;
}
/**
* 在數組arr的下標範圍[begin, end]內，找到排序後位於整個arr數組下標爲index的數
*
* @param arr
* @param begin
* @param end
* @param index
* @return
*/
public static int select(int[] arr, int begin, int end, int index) {
if (begin == end) {
return arr[begin];
}
int pivot = medianOfMedians(arr, begin, end); // 核心操做：中位數的中位數做爲基準
int[] pivotRange = partition(arr, begin, end, pivot); // 拿到分區後中區的範圍
if (index >= pivotRange[0] && index <= pivotRange[1]) { // 命中
return arr[index];
} else if (index < pivotRange[0]) {
return select(arr, begin, pivotRange[0] - 1, index);
} else {
return select(arr, pivotRange[1] + 1, end, index);
}
}
/**
* 選基準
*
* @param arr
* @param begin
* @param end
* @return
*/
public static int medianOfMedians(int[] arr, int begin, int end) {
int num = end - begin + 1;
int offset = num % 5 == 0 ? 0 : 1; // 5個成一組，不滿5個的本身成一組
int[] mArr = new int[num / 5 + offset]; // 每組的中位數取出構成中位數數組mArr
for (int i = 0; i < mArr.length; i++) {
int beginI = begin + i * 5;
int endI = beginI + 4;
mArr[i] = getMedian(arr, beginI, Math.min(endI, end));
}
// 求中位數數組mArr的中位數，做爲基準返回
return select(mArr, 0, mArr.length - 1, mArr.length / 2);
}
/**
* 在數組arr的下標範圍[begin, end]內，找中位數，若是元素個數爲偶數則找下中位數
*
* @param arr
* @param begin
* @param end
* @return
*/
public static int getMedian(int[] arr, int begin, int end) {
insertionSort(arr, begin, end);
int sum = begin + end;
int mid = (sum / 2) + (sum % 2);
return arr[mid];
}
/**
* 這裏僅用於對一組5個數進行插入排序，時間複雜度O(1)
*
* @param arr
* @param begin
* @param end
*/
public static void insertionSort(int[] arr, int begin, int end) {
for (int i = begin + 1; i <= end; i++) {
int get = arr[i];
int j = i - 1;
while (j >= begin && arr[j] > get) {
arr[j + 1] = arr[j];
j--;
}
arr[j + 1] = get;
}
}
/**
* 優化後的快排partition操做
*
* @param arr
* @param begin
* @param end
* @param pivot
* @return 返回劃分後等於基準的元素下標範圍
*/
public static int[] partition(int[] arr, int begin, int end, int pivot) {
int small = begin - 1; // 小區最後一個元素下標
int big = end + 1; // 大區第一個元素下標
int cur = begin;
while (cur < big) {
if (arr[cur] < pivot) {
swap(arr, ++small, cur++);
} else if (arr[cur] > pivot) {
swap(arr, --big, cur);
} else {
cur++;
}
}
int[] range = new int[2];
range[0] = small + 1; // 中區第一個元素下標
range[1] = big - 1; // 中區最後一個元素下標
return range;
}
public static void swap(int[] arr, int i, int j) {
int tmp = arr[i];
arr[i] = arr[j];
arr[j] = tmp;
}
public static void printArray(int[] arr) {
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
System.out.print(arr[i] + " ");
}
System.out.println();
}
public static void main(String[] args) {
int[] arr = {6, 9, 1, 3, 1, 2, 2, 5, 6, 1, 3, 5, 9, 7, 2, 5, 6, 1, 9};
// sorted : { 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 9, 9, 9 }
printArray(getKMins(arr, 10));
}
}
關於BFPRT算法爲何在時間複雜度上能夠作到穩定的O(N)，能夠參考《程序員代碼面試指南》P339或《算法導論》9.3節內容，這裏不作證實。
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