蓄水池抽樣算法

問題定義：

    給你一個長度爲N的鏈表。N很大，但你不知道N有多大。你的任務是從這N個元素中隨機取出k個元素。你只能遍歷這個鏈表一次。你的算法必須保證取出的元素剛好有k個，且它們是徹底隨機的（出現機率均等）。

蓄水池抽樣算法：

    

該算法是針對從一個序列中隨機抽取不重複的k個數，保證每一個數被抽取到的機率爲k/n這個問題而構建的。作法是： -
首先構建一個可放k個元素的蓄水池，將序列的前k個元素放入蓄水池中。
而後從第k+1個元素開始，以k/n的機率來決定該元素是否被替換到池子中。 當遍歷完全部元素以後，就能夠獲得隨機挑選出的k個元素。複雜度爲O(n).

其僞代碼以下：

Init : a reservoir with the size： k

        for    i= k+1 to N

            M=random(1, i);
            if( M < k)
                 SWAP the Mth value and ith value
       end for

證實每一個數被取到的機率爲k/n:

1. 對於第i個數(i<k)，在前k步被選中的機率是1， 從第k+1步開始，i不被選中的機率爲k/k+1,那麼讀到第n個數時， 第i個數(i<k)被選中的機率 = 被選中的機率 * 之後每一步都不被換走的機率,即
   1 * k/k+1 * k+1/k+2 …n-1/n = k/n

2. 對於第j個數(j>=k)被選中的機率爲： 在他出現時被選中的機率 * 在他出現之後不被換走的機率,即: 
   k/j * j /j+1 。。。n-1/n = k/n

3. 綜上得證。