錯題總結：明確求導過程當中的自變量很關鍵

例題：對下面的函數求導

$f(x) = \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} - 2$

錯誤的求導過程

${f}'(x) = {(\sqrt{1 + x})}' + {(\sqrt{1 - x})}' + {2}'
={((1 + x)^{\frac{1}{2}})}' + {((1 - x)^{\frac{1}{2}})}'
=\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{1+x}} + \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{1-x}}
=\frac{1}{2 \sqrt{1+x}} + \frac{1}{2 \sqrt{1-x}}$

上面這個計算過程是錯的，錯誤的緣由是在計算 $\sqrt{1+x}$ 的導數時把 $1+x$ 視做了自變量，也就是說把 $1+x$ 視做了求導對象；而在對 $\sqrt{1-x}$ 求導時，又把 $1-x$ 看做了求導自變量。

很顯然，一個二維函數中不可能有兩個不一樣的自變量，並且根據約定可知，當式子中出現 $f(x)$ 或者 $lim_{x \to 0}$ 時，就代表這個式子中的自變量是 $x$ 且求導也要對 $x$ 求導。

正確的求導過程

這裏咱們能夠使用複合函數求導的鏈式法則計算本例題，複合函數的鏈式求導法則以下：

設 $y = f(u), u = \mu(x)$, 若是 $\mu(x)$ 在 $x$ 處可導，$f(x)$ 在對應點 $u$ 處可導，則複合函數 $y = f[\mu(x)]$ 在 $x$ 處可導，且有：

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx} = {f}'[\mu(x)]{\mu}'(x)$

因而，對於例題的正確求導過程以下：

${f}'(x) = {(\sqrt{1 + x})}' + {(\sqrt{1 - x})}' + {2}'
={((1 + x)^{\frac{1}{2}})}' + {((1 - x)^{\frac{1}{2}})}'
=\frac{1}{2}(1 + x)^{-\frac{1}{2}} + \frac{1}{2}(1 - x)^{-\frac{1}{2}}
=\frac{1}{2}(1 + x)^{-\frac{1}{2}}\times{(x)}' + \frac{1}{2}(1 - x)^{-\frac{1}{2}} \times {(-x)}'
=\frac{1}{2\sqrt{1+x}} - \frac{1}{2 \sqrt{1-x}}$