Monty Hall 問題與貝葉斯定理的理解

 三門問題（Monty Hall problem），是一個源自博弈論的數學遊戲問題，大體出自美國的電視遊戲節目Let's Make a Deal。問題的名字來自該節目的主持人蒙提·霍爾（Monty Hall）。

遊戲規則

遊戲參賽者會看見三扇關閉了的門，其中一扇的後面有一輛汽車，選中後面有車的那扇門就能夠贏得該汽車，而另外兩扇門後面則各藏有一隻山羊。當參賽者選定了一扇門，但未去開啓它的時候，節目主持人會開啓剩下兩扇門的其中一扇，露出其中一隻山羊。主持人其後會問參賽者要不要換另外一扇仍然關上的門。問題是：換另外一扇門會否增長參賽者贏得汽車的機會率？

咱們假設三扇門爲A、B、C。那麼對於參賽者而言，剛開始作出選擇的時候P(A)=P(B)=P(C)=1/3。

如今咱們假設選定一個門A，那麼剩下的B、C門會被主持人打開一個，P（D）爲打開B或C們的機率爲1/2。

如今主持人會問是否換一扇門。若是堅持不換，堅持打開A門。P（A|D）=P（AD）/P（D）=1/3。參賽者選擇的仍是最初的門，在這裏主持人是否開啓一扇門，對最初的1/3機率沒有影響。

若是不堅持選擇A門，那麼BC兩扇門中存在汽車的可能性爲P(E)=2/3，且其中一扇門被主持人打開，肯定沒有汽車只有山羊。假設換一扇門打開的機率爲P（E|D）=P(ED)/P(D)=2/3

有一人認爲在主持人選了一個門以後  另外兩個門機率對咱們來講是二分之一。這種想法是有問題的。若是選擇堅持A，那麼主持人的選擇對咱們得到汽車的機率是沒有影響的，咱們仍是以前的三分之一律率。若是選擇換一扇門選擇另外一個門C，二分之一是針對只有2扇門的狀況下的機率，可是在此以前發生了一個B門被主持人打開的事件。B也是樣本元素之一。整個樣本元素的數量爲3。因此不堅持A的話。必須將B也考慮進去，BC有車的機率爲三分之二。

 

貝葉斯定理由英國數學家貝葉斯 ( Thomas Bayes 1702-1761 ) 發展，用來描述兩個條件機率之間的關係，好比 P(A|B) 和 P(B|A)。按照乘法法則，能夠馬上導出：P(A∩B) = P(A)*P(B|A)=P(B)*P(A|B)。如上公式也可變形爲：P(B|A) = P(A|B)*P(B) / P(A)。

這個問題用貝葉斯定理來理解就有點繞比較簡單了。

先來看看貝葉斯公式

 

 

咱們首先設定如下三個隨機事件：

A：所選的X號門後是汽車。

B：換門後，當前門後是汽車

C：你選擇了X號門，而主持人打開了y號門而且y號門後面是山羊。

 

 若是堅持不換門的狀況下，咱們的目標是P（A|C），即在獲得主持人信息以後1號門後是汽車的機率。在主持人提供信息以前，咱們有P（A）=1/3。

 D發生的概率，仔細想一想是1/2，由於主持人會隨機的打開一扇門後有羊的門。

 這個地方的1/2 ×2/3=1/2 × 1/3 +1/2 × 1/3

換門的話，咱們的目標是P(B|C), 此時P（C）的機率就變成了1,是必然事件了

根據貝葉斯公式就可求得結果是2/3

 

這遊戲至關於你和主持人博弈，你只能選一扇門，主持人就選剩下的兩扇門。顯然主持人的勝率是2/3。這個勝率和主持人是否打開一扇門沒有關係，和主持人是否知道門裏有沒有獎也沒有關係，都是你本身先選的啊！

如今給你一個機會，用你手裏的一扇門交換主持人手裏的兩扇門，你換不換？

人們根據不肯定性信息做出推理和決策須要對各類結論的機率做出估計。Monty Hall與貝葉斯定理不只包含了機率學和邏輯學，還包含了心理學，但研究的角度是不一樣的。心理學研究人們主觀機率估計的認知加工過程規律。這一領域的探討對揭示人們對機率信息的認知加工過程與規律、指導人們進行有效的學習和判斷決策都具備十分重要的理論意義和實踐意義。在機器學習中包含了各類對數據的判斷與決策。所以貝葉斯定理在機器學習中也起着相當重要的做用。

 我以爲貝葉斯定理給個人啓示就是：不要主觀的去對一個問題進行定義，須要結合影響這個問題的其餘事件一塊兒來看待。理性且全面的認知一個問題。