ACM數論總結

ACM數論總結

http://blog.csdn.net/xieshimao/article/details/6425099

斷斷續續的學習數論已經有一段時間了，學得也很雜，如今進行一些簡單的回顧和總結。

學過的東西不能忘啊。。。

 

一、本原勾股數：

概念：一個三元組(a,b,c)，其中a,b,c沒有公因數並且知足：a^2+b^2=c^2

首先，這種本原勾股數的個數是無限的，並且構造的條件知足：

a=s*t,b=(s^2-t^2)/2,c=(s^2+t^2)/2

其中s>t>=1是任意沒有公因數的奇數！

由以上概念就能夠導出任意一個本原勾股數組。

 

二、素數計數（素數定理）

令π(x)爲1到x中素數的個數

19世紀最高的數論成就就是如下這個玩意兒：

lim(x->∞){π(x)/(x/ln(x))}=1

數論最高成就，最高成就！！！有木有！！！

 

三、哥德巴赫猜測(1+1)

一個大偶數(>=4)必然能夠拆分爲兩個素數的和，雖然目前尚未人可以從理論上進行證實，不過我根據科學家們利用計算機運算的結果，若是有一個偶數不能進行拆分，那麼這個偶數至少是一個上百位的數！！

因此在ACM的世界中（數據量每每只有2^63如下）哥德巴赫猜測是成立的！！因此拆分程序必定可以實現的

 

四、哥德巴赫猜測的推廣

任意一個>=8的整數必定可以拆分爲四個素數的和

證實：

先來講8=2+2+2+2，（四個最小素數的和）不能再找到比2小的素數了，因此當n小於8，就必定不可能拆分爲四個素數的和！

那麼當n大於等於8，能夠分狀況討論：

（1）n&1==0(n爲偶數)，那麼n就必定能夠拆分爲兩個偶數的和

那麼根據哥德巴赫猜測，偶數能夠拆分爲兩個素數的和，因而，n必定能夠拆分爲四個素數的和

（2）n&1==1(n爲奇數)，n必定能夠拆分爲兩個偶數+1

因爲有一個素數又是偶數，2，那麼奇數必定有以下拆分：2+3+素數+素數

得證。

 

五、歐拉函數（歐拉公式）

歐拉函數ph(n)的意思是全部小於n且與n互質的數的個數

好比說ph(12)=4,[1,5,7,11與12互質]

歐拉公式

a^ph(m)=1(mod m)

 

六、費馬小定理

費馬小定理是歐拉公式的一種特殊狀況

因爲當p爲質數的時候ph(p)=p-1這是顯然的

那麼帶入歐拉公式就獲得了費馬小定理

a^(p-1)=1(mod p)

p爲質數(prime)

 

七、抽屜原理

抽屜原理實際上是廢話，關鍵在於運用

這句廢話是說，若是如今有3個蘋果，放進2個抽屜，那麼至少有一個抽屜裏面會有兩個蘋果，這個很廢話。

 

八、抽屜原理的運用

抽屜原理自己只是一句廢話，不過他的運用卻很是強大

如今假設有一個正整數序列a1,a2,a3,a4.....an，試證實咱們必定可以找到一段連續的序列和，讓這個和是n的倍數，該命題的證實就用到了抽屜原理

咱們能夠先構造一個序列si=a1+a2+...ai

而後分別對於si取模，若是其中有一個sk%n==0，那麼a1+a2+...+ak就必定是n的倍數（該種狀況得證）

下面是上一種狀況的反面，即任何一個sk對於n的餘數都不爲0

對於這種狀況，咱們能夠以下考慮，由於si%n!=0

那麼si%n的範圍必然在1——（n-1），因此原序列si就產生了n個範圍在1——（n-1）的餘數，因而抽屜原理就來了，n個數放進n-1個盒子裏面，必然至少有兩個餘數會重複，那麼這兩個sk1,sk2之差必然是n的倍數，

而sk1-sk2是一段連續的序列，那麼原命題就獲得了證實了

 

九、判斷n!是否可以被m整除

計算方法是把m進行質因數分解，看下m的每個質因數是否可以在n!中找到；

n!中間包含了多少個x(x是任意的一個數，不過通常狀況下咱們都只討論x爲質數)，這種問題的答案是： n/x+n/(x^2)+n/(x^3).....[一直加到x的乘方不超過n]，這個定理的證實也很是的簡單，這裏就再也不贅述了

根據以上觀點，就能夠分別計算m的每個質因數是否被徹底包含，若是有一個沒有被包含，那麼就不能被整除！

 

十、因子和的計算方法

神馬叫因子和：一個數的因此因子的和就叫因子和。。。

好吧，舉個例子：12的因子和爲：1+2+3+4+6+12

計算方法是把12分解爲質因數的表達形式2^2*3

那麼他的因子和就是：(1+2+2^2)*(1+3)

證實寫起來比較麻煩，大致上思路就是牛頓二項式。。。

 

十一、判斷組合數C(n,m)的奇偶性

有一個我也不知道證實的方法

當n&m==m爲奇數，反之就是偶數