網絡最大流入門

前言

網絡最大流是網絡流中最基礎也是最重要的部分，後邊的許多模型也都是由最大流問題引伸而來的

最大流

在研究這個問題以前，讓咱們先來學習一下前置知識

 

可行流

設$f(u,v)$表示邊$(u,v)$的當前容量上限

設$c(u,v)$表示邊$(u,v)$的最大容量上限

若是網絡流圖中的流量知足

• 源點$S$：流出量$=$流量總量
• 匯點$T$：流入量$=$流量總量
• 任意邊$(u,v)$：$0<=f(u,v)<=c(u,v)$

則稱該流爲一個可行流

增廣

增廣：即增長一條路徑上的流量

增長一條路徑的流量，即減小這條路徑的當前流量上限，即$f(u,v)$的值

增廣是咱們求解最大流的基礎

最大流

定義：在全部可行流中流量最大的流

那麼咱們如何求解這個東西呢？

 

很顯然的一種思路就是找到整個網絡中的容量上限最小的邊

增廣(就是加流量)這條路徑，不斷的重複

 

暫且不說這麼作時間複雜度如何

咱們先考慮一下它的正確性。

這麼作貌似頗有道理，

可是！

以上圖爲例，如只是無腦增廣的話，極可能對SABT這條邊進行增廣，而增廣完這條邊後，就再也沒有能夠增廣的路徑了，求出的最大流爲$3$，下圖爲增廣後的網絡流圖

 

很顯然，這麼作是錯的，由於咱們能夠分別增廣$SAT$，$SBT$這兩條路徑，獲得的流量爲$6$

那怎麼解決這個問題呢？

 

咱們須要引入一個很是重要的概念——反向邊

例如，對於$SA$這條容量爲$3$的邊，咱們能夠認爲存在一條容量爲$0$的邊$AS$與之對應，對於$SA$進行增廣，即減少它的容量上限，至關於增大$AS$的容量上限

也就是說，咱們容許從$SA$流出的流量倒流回去，給它一個悔改的機會

 

這樣，對於上圖而言，咱們能夠藉助反向邊來更改本身的錯誤操做，創建反向邊後的圖以下圖所示

 

這樣咱們便又有了一條新的增廣路$SBAT$，對這條路徑進行增廣後咱們即可以獲得網絡最大流爲$5$

 

考慮一下，爲何這樣是對的？

 

緣由很簡單，形成咱們剛開始作出錯誤決策的邊爲$AB$，最大流本不該通過這裏，可是咱們卻無腦的通過了這裏

由於反向邊$BA$的存在，咱們又把從$A$流向$B$的流量給退了回去。這就至關於沒有通過$AB$這條邊

 

（本節如下內容讀者能夠直接略過，屬於本蒟蒻瞎扯，可能把讀者帶到溝裏面，目前已有一人受害）

反向弧到這裏本就應該結束了，可是本蒟蒻在學習的過程當中一直有個問題不明白

爲何加反向弧是對的？

若是不考慮反向弧，咱們選擇的路徑爲$SAT$，$SBT$，可是加了反向弧以後咱們的路徑貌似不是這麼選的啊。。

尤爲是$AT$這條邊的流量，本應該是從$SA$流過來，但實際是從$SB$流過來。

這樣爲何是對的呢？

這個問題我思考了很長時間，最終得出了一個很不靠譜的結論

由於通過$AB$這條邊的流量爲$SA,AB,BT$的最小值，而後xjb分狀況討論一下，%……&*（）（）*&……%￥）（大概要分個一二十種狀況吧，而後發現都是對的，其實就是各邊之間的流量等效替代問題。。。）

看到這兒的同窗，恭喜大家被帶到坑裏啦O(∩_∩)O哈哈~

實現

我目前見過的最大流算法有如下幾種

1. EK（最簡單，比較慢）
2. Dinic（最多見，性能良好）
3. ISAP/SAP（也比較常見，性能很好）
4. 最高標號預流推動(HLPP) （暫時還沒學。。）
5. 前置重貼標籤（什麼鬼。。。）
6. 推送重貼標籤（WTF......）

對於這些算法，博主給你們的建議是：

• 理解第一種方法，並用代碼實現一次
• 熟練掌握第二種算法，深入的理解其內涵，並能作到超級熟練的運用（起碼5min以內要敲出來&&沒有錯誤）
• 理解第三種算法，並至少運用一次。（由於第三種算法跑的比較快，因此能夠用來搶排行榜$rank1$）
• 第四五六中算法建議你們理解其內涵，代碼實現就無所謂了，由於基本用不到，不過學會了能夠用來裝13:joy:

 

另外，在書上看到過聽說可使用動態樹優化最大流算法，可是把百度翻遍了也沒找到代碼。。。

若是您會的話歡迎教一下本蒟蒻，感激涕零

 

因爲想講的詳細一些，因此想了一下把每一個算法分開講吧，我會盡快更新噠:grinning:

（最近這幾天可能不太好辦了，由於博主在外面學(bei)習(nue)，只有晚上才能更博客）