樹的種類（數據結構）

在計算器科學中，樹（英語：tree）是一種抽象數據類型或是實現這種抽象數據類型的數據結構，用來模擬具備樹狀結構性質的數據集合。它是由n（n>0）個有限節點組成一個具備層次關係的集合。把它叫作「樹」是由於它看起來像一棵倒掛的樹，也就是說它是根朝上，而葉朝下的。它具備如下的特色：

•     每一個節點有零個或多個子節點；
•     沒有父節點的節點稱爲根節點；
•     每個非根節點有且只有一個父節點；
•     除了根節點外，每一個子節點能夠分爲多個不相交的子樹；

一、二叉樹

二叉樹：每一個節點最多含有兩個子樹的樹稱爲二叉樹。（咱們通常在書中試題中見到的樹是二叉樹）

在二叉樹的概念下又衍生出滿二叉樹和徹底二叉樹的概念

滿二叉樹：除最後一層無任何子節點外，每一層上的全部結點都有兩個子結點。也能夠這樣理解，除葉子結點外的全部結點均有兩個子結點。節點數達到最大值，全部葉子結點必須在同一層上。
徹底二叉樹：若設二叉樹的深度爲h，除第 h 層外，其它各層 (1～(h-1)層) 的結點數都達到最大個數，第h層全部的結點都連續集中在最左邊，這就是徹底二叉樹。

 

算法實現

二叉樹：
 private static class TreeNode {
        int val;
        TreeNode left;
        TreeNode right;
TreeNode(int x) { val = x; }
}

二叉樹的遍歷方式

例：

 圖1-1 一個二叉樹的例子

前序遍歷：根節點->遍歷左子樹->遍歷右子樹 

圖1-1中的二叉樹的前序遍歷的順序爲{10，6，4，8，14，12，17}

中序遍歷：遍歷左子樹->根節點->遍歷右子樹（能夠理解爲對根節點所在層的投影）

圖1-1中的二叉樹的中序遍歷的順序爲{4，6，8，10，12，14，17}

後序遍歷：遍歷左子樹->遍歷右子樹->根節點

圖1-1中的二叉樹的中序遍歷的順序爲{4，8，6，12，17，14，10}

這3種遍歷都有遞歸和循環兩種不一樣的實現方法，每種遍歷的遞歸實現都比循環實現要更簡潔不少。

二、二叉查找樹

二叉查找樹是二叉樹的衍生概念：

二叉查找樹（英語：Binary Search Tree），也稱爲二叉搜索樹、有序二叉樹（ordered binary tree）或排序二叉樹（sorted binary tree），是指一棵空樹或者具備下列性質的二叉樹：

•    若任意節點的左子樹不空，則左子樹上全部節點的值均小於它的根節點的值；
•    若任意節點的右子樹不空，則右子樹上全部節點的值均大於它的根節點的值；
•    任意節點的左、右子樹也分別爲二叉查找樹；

二叉查找樹相比於其餘數據結構的優點在於查找、插入的時間複雜度較低爲 O ( log n ) 。二叉查找樹是基礎性數據結構，用於構建更爲抽象的數據結構，如集合、多重集、關聯數組等。

三、 平衡二叉樹（AVL樹）

平衡二叉樹：當且僅當任何節點的兩棵子樹的高度差不大於1的二叉樹；

其中AVL樹是最早發明的自平衡二叉查找樹，是最原始典型的平衡二叉樹。

平衡二叉樹是基於二叉查找樹的改進。因爲在某些極端的狀況下（如在插入的序列是有序的時），二叉查找樹將退化成近似鏈或鏈，此時，其操做的時間複雜度將退化成線性的，即O(n)。因此咱們經過自平衡操做（即旋轉）構建兩個子樹高度差不超過1的平衡二叉樹。

三、紅黑樹

紅黑樹也是一種自平衡的二叉查找樹。

經過對任何一條從根到葉子的路徑上各個節點着色的方式的限制,紅黑樹確保從根到葉子節點的最長路徑不會超過最短路徑的兩倍，用非嚴格的平衡來換取增刪節點時候旋轉次數的下降，任何不平衡都會在三次旋轉以內解決

紅黑樹多用於搜索,插入,刪除操做多的狀況下

•     每一個結點不是紅的就是黑的。
•     根結點是黑的。
•     每一個葉結點都是黑的。
•     每一個紅色節點的兩個子節點都是黑色。(從每一個葉子到根的全部路徑上不能有兩個連續的紅色節點)
•     對於任意結點而言，其到葉結點樹尾端NIL指針的每條路徑都包含相同數目的黑結點。

四、B樹

B-樹就是B樹,-只是一個符號.

B樹(B-Tree)是一種自平衡的樹,它是一種多路搜索樹（並非二叉的），可以保證數據有序。同時它還保證了在查找、插入、刪除等操做時性能都能保持在O(logn)，爲大塊數據的讀寫操做作了優化，同時它也能夠用來描述外部存儲(支持對保存在磁盤或者網絡上的符號表進行外部查找)

特色：

• 定義任意非葉子結點最多隻有M個兒子；且M>2
• 根結點的兒子數爲[2, M]
• 除根結點之外的非葉子結點的兒子數爲[M/2, M]
• 每一個結點存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1個關鍵字；（至少2個關鍵字）
• 非葉子結點的關鍵字個數=指向兒子的指針個數-1
• 非葉子結點的關鍵字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]
• 非葉子結點的指針：P[1], P[2], …, P[M]，其中P[1]指向關鍵字小於K[1]的子樹，P[M]指向關鍵字大於K[M-1]的子樹，其它P[i]指向關鍵字屬於(K[i-1], K[i])的子樹
• 全部葉子結點位於同一層

B+樹

B+樹是B-樹的變體，也是一種多路搜索樹
B+的搜索與B-樹也基本相同，區別是B+樹只有達到葉子結點才命中（B-樹能夠在非葉子結點命中），其性能也等價於在關鍵字全集作一次二分查找；

B+的特性：

• 全部關鍵字都出如今葉子結點的鏈表中（稠密索引），且鏈表中的關鍵字剛好是有序的
• 不可能在非葉子結點命中
• 非葉子結點至關因而葉子結點的索引（稀疏索引），葉子結點至關因而存儲（關鍵字）數據的數據層
• 更適合文件索引系統

使用場景：

文件系統和數據庫系統中經常使用的B/B+ 樹，他經過對每一個節點存儲個數的擴展，使得對連續的數據可以進行較快的定位和訪問，可以有效減小查找時間，提升存儲的空間局部性從而減小IO操做。

他普遍用於文件系統及數據庫中，如：
Windows：HPFS 文件系統
Mac：HFS，HFS+ 文件系統
Linux：ResiserFS，XFS，Ext3FS，JFS 文件系統
數據庫：ORACLE，MYSQL，SQLSERVER 等中

對比

B樹：有序數組+平衡多叉樹 B+樹：有序數組鏈表+平衡多叉樹

B+ 樹的優勢：

1. 層級更低，IO 次數更少
2. 每次都須要查詢到葉子節點，查詢性能穩定
3. 葉子節點造成有序鏈表，範圍查詢方便