補碼原理——負數爲何要用補碼錶示

文首

咱們都知道負數在計算機中是以補碼（忘了補碼定義的戳這裏）表示的，那爲何呢？本文嘗試瞭解補碼的原理，而要想理解它，首先得理解算術中「模」的概念。因此首先看一下什麼是模，而後經過一個小例子來理解補碼。
1 模（Modulo）
1.1 什麼是模數

    In mathematics, modular arithmetic is a system of arithmetic for integers, where numbers 「wrap around」 upon reaching a certain value—the modulus (plural moduli).

1.1.1 理解

模是指一個計量系統的計數範圍。如時鐘等。計算機也是一個計算器，它也是有一個計量範圍，即都存在一個「模」。
如時鐘的計量範圍是0~11，模 = 12。
32位計算機的計量範圍是2^32，模 = 2^32。
「模」是計量器產生「溢出」的量，它的值在計量器上表示不出來，計量器上只能表示出模的餘數，如12的餘數有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11。
1.2 補數

假設當前時針指向11點，而準確時間是8點，調整時間可有如下兩種撥法：

    一種是倒撥3小時，即：11-3=8
    另外一種是順撥9小時：11+9=12+8=8

在以模爲12的系統中，加9和減3效果是同樣的，所以凡是減3運算，均可以用加9來代替。對「模」12而言，9和3互爲補數（兩者相加等於模）。因此咱們能夠得出一個結論，即在有模的計量系統中，減一個數等於加上它的補數，從而實現將減法運算轉化爲加法運算的目的。
1.3 再談「模」

從上面的化減法爲加法，以及所謂的溢出等等能夠看到，「模」能夠說就是一個太極，陰陽轉化，周而復始，無始無終，循環往復。
2 補碼原理

計算機上的補碼就是算術裏的補數。
設咱們有一個 4 位的計算機，則其計量範圍即模是
2^4 = 16，因此其可以表示的範圍是0~15，如今以計算 5 - 3爲例，咱們知道在計算機中，加法器實現最簡單，因此不少運算最終都要轉爲加法運算，所以5-3就要轉化爲加法：

 # 按以上理論，減一個數等於加上它的補數，因此
 5 - 3
 # 等價於
 5 + (16 - 3)   // 算術運算單元將減法轉化爲加法
 # 用二進制表示則爲：
 0101 + (10000 - 0011)
 # 等價於
 0101 + ((1 + 1111) - 0011)
 # 等價於
 0101 + (1 + (1111 - 0011))
 # 等價於
 0101 + (1 + 1100) // 括號內是3（0011）的反碼+1，正是補碼的定義
 # 等價於
 0101 + 1101
 # 因此從這裏能夠獲得
 -3 = 1101
 # 即 `-3` 在計算機中的二進制表示爲 `1101`，正是「 -3 的正值 3（`0011`）的補碼（`1101`）」。
 # 最後一步 0101 + 1101 等於
 10010

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由於咱們的計算機是 4 位的，第一位「溢出」了，因此咱們只保存了 4 位，即 0010，而當計算機去讀取時這正是咱們所指望的 2！！歎爲觀止吧，天才般的設計！感恩伏羲、萊布尼茲和馮諾依曼！ 文末