圖論-拓撲排序詳解

拓撲排序（topsort）詳解

這篇隨筆就信息學奧林匹克競賽中圖論的一個知識點——拓撲排序進行講解。拓撲排序的內容比較基礎，只要求讀者學習過並瞭解信息學中圖的相關定義和一些專業名詞，可是拓撲排序的變形題目比較多，但願讀者在看完本隨筆後認真體會練習，掌握拓撲排序。

上課！

拓撲排序的定義

顧名思義，這是一種排序，確切地說，是一種圖上排序，在一張有向無環圖（註解：有向無環圖即不少參考書和題解中所說的DAG）上進行排序，把其中的全部節點排成一個序列，使得圖中的任意一對有邊相連的節點（u,v）u要出如今v前。

因此我再次強調，拓撲排序只能用在有向無環圖中！！

這樣的線性序列咱們稱之爲拓撲序。

注意，拓撲序不惟一！這個地方不明白的請本身畫圖理解（或者參考下面的那棵樹）。

拓撲排序的實現原理

在講解圖的拓撲排序以前，咱們能夠用一棵樹來加深對拓撲排序的理解（由於樹是絕對沒有環）。

咱們隨意地定義一棵有向樹（以下圖），若是咱們想獲得它的拓撲序，那會很簡單，只須要先把根節點8號放進隊列中，而後再放8號的任意一個兒子節點，繼續此操做。直到節點全放進去爲止。

咱們會發現，問放進去的是任意的一個子節點，因此咱們說拓撲序是不惟一的（在絕大多數狀況下，你要非跟我擡槓說假如只有一條鏈，我也沒辦法）。

拓撲排序的實現

講完了實現原理，咱們來進行拓撲排序的代碼實現，根據上面的原理，咱們會發現，咱們要保證拓撲序列的正確性，只須要把圖中的入度爲0的節點先放進拓撲序，而後把這個點和它全部的出邊所有刪掉，這樣就還會出現一些入度爲0的點，咱們繼續重複以上操做。

有細心的小夥伴會發現這個和算法中的寬搜很類似，沒錯，所謂寬搜和深搜，都是基於對樹與圖的深度/寬度優先遍歷而定義的，因此拓撲排序的實現其實就是藉助了寬搜的思想。

上模板：

void topsort()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(rudu[j]==0)
            {
                x=j;
                top[++cnt]=j;
                rudu[j]--;
                break;
            }
        }
        for(int j=head[x];j;j=nxt[j])
            rudu[j]--;
    }
}

以上代碼的top數組存拓撲序列，使用的是鏈式前向星存圖並遍歷。比較好理解，可是時間複雜度比較低。（因此僅供理解）

因此咱們用C++STL來實現拓撲排序，這樣會快不少。

模板：

void topsort()
{
    queue<int> q;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(rudu[i]==0)
            q.push(i);
    while(q.empty())
    {
        int x=q.front();
        q.pop();
        top[++cnt]=x;
        for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
        {
            int y=to[i];
            rudu[y]--;
            if(rudu[y]==0)
                q.push(y);
        }
    }
}

其實也很好理解啦...

注意，以上代碼是針對於已經保證圖是DAG的狀況下而出現的，假如咱們沒有題目中DAG的保證，就要額外地判這個圖是否是DAG，即不少題目中要求的「無解」狀況。

怎麼判斷呢？

學到這裏，我以爲你應該想到，若是最後獲得的拓撲序列的長度等於節點總數，那麼這個圖就是DAG，不然就不是。

因此咱們最後進行判斷。

（你也可使用STL中的vector容器）

代碼：

if(cnt==n)
    //DAG操做
else
    //非DAG操做

拓撲排序的用途及一些技巧

拓撲排序的用途是解決一些依賴關係的題，通常來說沒有圖論的基本要素（告訴你幾個點，一眼就看出來這是一道圖論題%%%），因此，我認爲作拓撲排序題的難點在於如何創建一個和題意相符的圖（建圖坑死爹）。因此美其名曰拓撲排序是圖論中最簡單的內容，其實它的相關題目都頗有思惟含量，因此強烈建議各位同窗多刷題多刷題。

因爲拓撲排序不惟一，因此有些坑爹題目要求拓撲序列的一些內容，好比按字典序等等。

這時咱們把本來的隊列拓撲排序換成優先隊列拓撲排序。

注意，優先隊列不能提速，不要覺得找到了一份更好的模板，必定要讀題~~！！

除了定義方式有點怪異其餘的跟隊列同樣。

priority_queue<int,vector<int>,greater<int> >q;
//取隊首的時候須要變成q.top()；

下課！！祝同窗們AK IOI！！