【圖論】拓撲排序

前言

在正文開始前，咱們先來了解一下有向無環圖(Directed Acyclic Graph簡稱DAG)

以下圖就是一個DAG圖，DAG圖是咱們討論拓撲排序的基礎。

AOV網：數據在頂點 能夠理解爲面向對象
AOE網：數據在邊上，能夠理解爲面向過程！

1. 什麼是拓撲排序

拓撲排序（Topological Order），不少人據說過，可是不瞭解的一種算法。或許不少人只知道它是圖論的一種排序，至於幹什麼的不清楚。又或許不少人可能還會認爲它是一種啥排序。

而實質上它只是將DAG圖的頂點排成一個線性序列，獲得一個頂點的全序集合。其排序的順序依據就是節點的指向關係。好比前言的DAG圖：

• ...
• 節點5在節點4和節點3的後面
• 節點9在節點6和節點7的後面
• ...

那麼最後獲得的節點的線性序列結果,也必定要知足上面的指向順序。

每個節點都擁有入度（有多少點導向它，也就是開始它有多少前提）和出度（它導向多少點，也就是它是多少其餘節點開始的前提）。例如節點5的入度爲3和4，出度爲7。

拓撲排序的結果不是惟一的，只要符合上面的條件，那麼它就是拓撲序列，好比1 2 4 3 6 5 7 9和2 1 3 4 5 6 7 9，這兩個結果都是可行的。

官方一點的定義：將有向圖中的節點以線性方式進行排序。即對於任何鏈接自節點u到節點v的有向邊uv，在最後的排序結果中，節點u老是在節點v的前面。

2. 現實案例

看了上面關於拓撲排序的概念若是還以爲十分抽象的話，那麼不妨考慮一個很是很是經典的例子——選課。

假設我很是想學習一門《jsp入門》的課程，可是在修這麼課程以前，咱們必需要學習一些基礎課程，好比《JAVA語言程序設計》，《HTML指南》等等。那麼這個制定選修課程順序的過程，實際上就是一個拓撲排序的過程，每門課程至關於有向圖中的一個頂點，而鏈接頂點之間的有向邊就是課程學習的前後關係。

只不過這個過程不是那麼複雜，從而很天然的在咱們的大腦中完成了。將這個過程以算法的形式描述出來的結果，就是拓撲排序。

能夠看到，上圖中的學習順序，就是拓撲序列，其不止一個結果。

拓撲排序算法在工程學中十分重要。

節點成環的圖，沒法被拓撲排序，由於這在工程上自己沒有意義，好比A——>B——>C——>A，那麼這個工程永遠沒法被開始。

3. 算法實現

拓撲排序的最優時間複雜度是O(m+n),其中m和n是DAG圖中節點數和邊數。由於拓撲排序至少要對DAG圖的節點和邊進行一次完整的遍歷。

拓撲排序的最優空間複雜度是O(m+n),其中m和n是DAG圖中節點數和邊數。咱們通常使用鄰接表來存儲DAG圖，所以空間複雜度是O(m+n)。

3.1 廣度優先搜索法（BFS）

3.1.1 BFS實現拓撲排序

廣度優先搜索法的思路很簡單：

1. 從DAG圖中找到入度爲0的節點A（也就是沒有箭頭指向它的節點），將其放入拓撲序列的結果集。
2. 同時刪除由節點A出發的全部邊。
3. 在剩下的DAG圖中重複1-2兩步。
4. 若是最後能夠把所有的節點都刪除並加入到結果集，那表示DAG圖能夠被拓撲排序；不然，若是最後有節點被剩下，那說明該圖是有環圖，沒法被拓撲排序。

以下圖

3.1.2 BFS實現拓撲排序的優化

若是有時候，咱們只須要知道某個DAG圖是否能夠拓撲排序，而不須要真正獲得拓撲排序後的結果，那麼能夠不須要結果集列表，只須要統計被刪除的節點的數量便可，若是該數量等於DAG圖的節點數，那麼DAG圖能夠被拓撲排序。

3.2 深度優先搜索法（DFS）

3.2.1 DFS實現拓撲排序

深度優先搜索法是廣度優先搜索法的逆向思路，它的步驟以下：

1. 選取圖中任意一個節點A，將其狀態標記爲「搜索中」

2. 尋找節點A的鄰接點（沿着箭頭指向尋找相鄰的節點）

   1. 若是A存在鄰接點

      1. 若是A的鄰接點中存在狀態爲「搜索中」的鄰接點，那麼表示DAG圖有環路，不可拓撲排序。
      2. 不然，那麼任意選擇一個狀態爲「未搜索」的鄰接點B，使用遞歸對B重複作1和2操做，注意此時B的鄰接點判斷不包含來路（也就是A節點）。等到A的全部鄰接點都被搜索到，遞歸回溯回A節點的時候，那麼A節點也會被標記爲「已搜索」，並壓入結果棧。
   2. 若是A不存在鄰接點，那麼將節點A的狀態改成「已完成」，而且將其壓入一個結果集的棧中。
3. A節點及其相鄰節點都搜索完畢後，若是還有未搜索的節點，那麼任意選取一個節點當作出發點，繼續重複1,2,3步驟。
4. 直到全部的節點都被搜索並壓入棧，那麼此時結果棧中，從棧頂到棧底的順序，就是拓撲排序的順序。

3.2.2 DFS實現拓撲排序的優化

若是有時候，咱們只須要知道某個DAG圖是否能夠拓撲排序，而不須要真正獲得拓撲排序後的結果，那麼能夠不須要結果棧，只須要判斷整個深度優先搜索過程，沒有發生「搜索中」節點的相鄰節點（不包含來路的節點）也是「搜索中」就行。