走進不同的斐波那契數列

本文介紹了遞歸的原理及其斐波那契數列的四種實現方式。

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遞歸

遞歸算是算法中比較難的點了。遞歸的應用很是普遍。呢什麼樣的問題能夠用遞歸來解決呢？須要如下三個條件：

• 一個問題的解能夠分解爲幾個子問題的解
• 這個問題與分解以後的子問題，除了數據規模不一樣，求解思路徹底同樣
• 存在遞歸終止條件

經典案例：

比較經典的例子就是最知名的斐波那契數列了。本文也以斐波那契數列爲例，先簡單介紹一下，斐波那契數列（Fibonacci sequence），又稱黃金分割數列（這個名字高大上）。

指的是這樣一個數列：一、一、二、三、五、八、1三、2一、3四、……

在數學上，斐波納契數列以以下被以遞推的方法定義：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=3，n∈N*）在現代物理、準晶體結構、化學等領域，斐波納契數列都有直接的應用。大體就是這樣。

在寫遞歸以前要注意這麼幾個問題：

• 遞歸的定義：簡單理解就是函數本身調用本身，將問題不斷分割成更小的子問題
• 遞歸的缺陷：遞歸到必定程度，會發生"棧溢出"，由於函數調用會使用棧來保存臨時變量。每調用一個函數，都會將臨時變量封裝爲棧幀壓入內存棧，等函數執行完成返回時，纔出棧。系統棧或者虛擬機棧空間通常都不大。若是遞歸求解的數據規模很大，調用層次很深，一直壓入棧，就會有堆棧溢出的風險。
• 遞歸的"時間複雜度"：遞歸總次數*每次遞歸的次數
• 遞歸的"空間複雜度"：遞歸的深度*每次遞歸空間的大小（注意："每次遞歸空間的大小"是個常數，能夠基本忽略不計）
• 遞歸的"深度"：樹的高度（遞歸的過程是一個"二叉樹"）

斐波那契數列的四種實現方式（兩種遞歸，兩種常規）

遞歸

時間複雜度：O(2^N)

空間複雜度：O(N)

這是最簡單的遞歸，只有兩行代碼，是否是很簡單呢？

public int recursion(int num) {
		if (num < 3) return 1;
		return recursion(num - 1) + recursion(num - 2);
	}複製代碼

可是這種實現的缺陷是重複計算的次數太多了，效率極其低下：

F(3) = F(1) + F(2);

F(4) = F(2) + F(3);

F(5) = F(3) + F(4);

F(6) = F(5) + F(6);

當計算到F(6)的時候，F(3)就已經重複了3次,所以改造一下：

public int recursion(int num) {
		// 必定要先給出遞歸跳出條件
		if (num < 3)
			return 1;
		// resCache是一個HashMap，key是num，value是res
		if (resCache.containsKey(num)) {
			return resCache.get(num);
		}
		int res = recursion(num - 1) + recursion(num - 2);
		resCache.put(num, res);
		return res;
	}複製代碼

ps：加一個hashMap來作緩存，避免重複計算

尾遞歸

時間複雜度：O(N-2)約等於0(N)

空間複雜度：O(N-2)約等於0(N)（編譯器若是優化的話是O（1））

先簡單瞭解一下什麼是尾遞歸。

1. 定義：在一個程序中，執行的最後一條語句是對本身的調用，並且沒有別的運算
2. 尾遞歸的實現：是在編譯器優化的條件下實現的

小知識（編譯器優化）：

遞歸的第一次調用時會開闢一份空間，此後的遞歸調用不會再開闢空間，而是在剛纔開闢的空間上作一些修改，實現這次遞歸，例如求F(10)，編譯器會給F(10)的調用開闢棧幀，調用F(9)的時候不會再從新開闢棧幀，而是在剛開闢的棧幀上作一些修改，由於遞歸的每一次調用都是同樣的流程，只是會有一些數據不一樣，因此不會再開闢空間。

public int tailRecursion(int num, int first, int second) {
		if (num < 3)
			return 1;
		if (num == 3)
			return first + second;
		return tailRecursion(num - 1, second, first + second);
	}複製代碼

下面兩種是非遞歸的實現，就比較簡單了，在此不作闡述。

常規實現

public int commonRcursion(int num) {
		if(num < 3) return 1;
		int first = 1;
		int second = 1;
		int res = 0;
		for (int i = 1; i < num - 1; i++) {
			res = first + second;
			first = second;
			second = res;
		}
		return res;
	}複製代碼

基於數組的實現

public int arrayRecursion(int num) {
		if(num < 3) return 1;
		int[] arrays = new int[num + 1];
		arrays[1] = 1;
		arrays[2] = 1;
		for (int i = 3; i <= num; i++) {
			arrays[i] = arrays[i - 1] + arrays[i - 2];
		}
		return arrays[num];
	}複製代碼

測試結果

擴展

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