數據結構之 平衡二叉樹
平衡二叉樹，是一種二叉排序樹，其中每一個結點的左子樹和右子樹的高度差至多等於1。它是一種高度平衡的二叉排序樹。高度平衡？意思是說，要麼它是一棵空樹，要麼它的左子樹和右子樹都是平衡二叉樹，且左子樹和右子樹的深度之差的絕對值不超過1。html
將二叉樹上結點的左子樹深度減去右子樹深度的值稱爲平衡因子BF，那麼平衡二叉樹上的全部結點的平衡因子只多是-一、0和1。只要二叉樹上有一個結點的平衡因子的絕對值大於1，則該二叉樹就是不平衡的。 算法
平衡二叉樹的前提是它是一棵二叉排序樹。 數組
距離插入結點最近的，且平衡因子的絕對值大於1的結點爲根的子樹，稱爲最小不平衡子樹。以下圖所示，當插入結點37時，距離它最近的平衡因子的絕對值超過1的結點是58。函數
一、平衡二叉樹實現原理 學習
平衡二叉樹構建的基本思想就是在構建二叉排序樹的過程當中，每當插入一個結點時，先檢查是否因插入而破壞了樹的平衡性，如果，則找出最小不平衡子樹。在保持二叉排序樹特性的前提下，調整最小不平衡子樹中各結點之間的連接關係，進行相應的旋轉，使之成爲新的平衡子樹。 下面講解一個平衡二叉樹構建過程的例子。如今又a[10] = {3, 2, 1, 4, 5, 6, 7, 10, 9, 8}須要構建二叉排序樹。在沒有學習平衡二叉樹以前，根據二叉排序樹的特性，一般會將它構建成以下左圖。雖然徹底符合二叉排序樹的定義，可是對這樣高度達到8的二叉樹來講，查找是很是不利的。所以，更加指望構建出以下右圖的樣子，高度爲4的二叉排序樹，這樣才能夠提供高效的查找效率。spa
如今來看看如何將一個數組構成出如上右圖的樹結構。 對於數組a的前兩位3和2，很正常地構建，到了第個數「1」時，發現此時根結點「3」的平衡因子變成了2，此時整棵樹都成了最小不平衡子樹，須要進行調整，以下圖圖1（結點左上角數字爲平衡因子BF值）。由於BF爲正，所以將整個樹進行右旋（順時針），此時結點2成了根結點，3成了2的右孩子，這樣三個結點的BF值均爲0，很是的平衡，以下圖圖2所示。3d
而後再增長結點4，平衡因子沒有改變，如上圖圖3。增長結點5時，結點3的BF值爲-2，說明要旋轉了。因爲BF是負值，對這棵最小平衡子樹進行左旋（逆時針旋轉），以下圖圖4，此時整個樹又達到了平衡。指針
繼續增長結點6時，發現根結點2的BF值變成了-2，以下圖圖6所示。因此對根結點進行了左旋，注意此時原本結點3是結點3的左孩子，因爲旋轉後須要知足二叉排序樹特性，所以它成告終點2的右孩子，如圖7所示。code
增長結點7，一樣的左旋轉，使得整棵樹達到平衡，以下圖8和9所示。htm
當增長結點10時，結構無變化，如圖10所示。再增長結點9，此時結點7的BF變成了-2，理論上只須要旋轉最小不平衡樹七、九、10便可，可是，若是左旋轉後，結點9變成了10的右孩子，這是不符合二叉排序樹的特性的，此時不能簡單的左旋。如圖11所示。
仔細觀察圖11，發現根本緣由在於結點7的BF是-2，而結點10的BF是1，也就是說，它們兩個一正一負，符號並不統一，而前面的幾回旋轉，不管左仍是右旋，最小不平衡子樹的根結點與它的子結點符號都是相同的。這就是不能直接旋轉的關鍵。 不統一，不統一就把它們先轉到符號統一再說，因而先對結點9和結點10進行右旋，使得結點10成了9的右子樹，結點9的BF爲-1，此時就與結點7的BF值符號統一了，如圖12所示。
這樣再以結點7爲最小不平衡子樹進行左旋，獲得以下圖13。接着，插入8，狀況與剛纔相似，結點6的BF是-2，而它的右孩子9的BF是1，如圖14，所以首先以9爲根結點，進行右旋，獲得圖15，此時結點6和結點7的符號都是負，再以6爲根結點左旋，最終獲得最後的平衡二叉樹，如圖16所示。
經過這個例子，能夠發現，當最小不平衡樹根結點的平衡因子BF是大於1時，就右旋，小於-1時就左旋，如上例中的結點一、五、六、7的插入等。插入結點後，最小不平衡子樹的BF與它的子樹的BF符號相反時，就須要對結點先進行一次旋轉以使得符號相同後，再反向旋轉一次纔可以完成平衡操做，如上例中結點九、8的插入時。
下面兩個圖講解了插入時所要作的旋轉操做的例子。《來自：http://www.cnblogs.com/guyan/archive/2012/09/03/2668399.html》
二、平衡二叉樹算法的實現
首先是須要改進二叉排序樹的結點結構，增長一個bf，用來存儲平衡因子。
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typedef
struct
BitNode
{
int
data;
int
bf;
struct
BitNode *lchild, *rchild;
}BitNode, *BiTree;
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void
R_rotate(BiTree *t)
{
BiTree s;
s = (*t)->lchild;
//s指向t的左子樹根結點
(*t)->lchild = s->rchild;
//s的右子樹掛接爲t的左子樹
s->rchild = (*t);
*p = s;
//t指向新的根結點
}
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上面的例子中新增長告終點N，就是右旋操做。
左旋代碼以下所示。
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void
L_rotate(BiTree *t)
{
BiTree s;
s = (*t)->rchild;
//s指向t的右子樹根結點
(*t)->rchild = s->lchild;
//s的左子樹掛接爲t的右子樹
s->lchild = (*t);
*p = s;
//t指向新的根結點
}
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#define LH +1 /* 左高 */
#define EH 0 /* 等高 */
#define RH -1 /* 右高 */
/* 對以指針T所指結點爲根的二叉樹做左平衡旋轉處理 */
/* 本算法結束時，指針T指向新的根結點 */
void
LeftBalance(BiTree *T)
{
BiTree L,Lr;
L = (*T)->lchild;
/* L指向T的左子樹根結點 */
switch
(L->bf)
{
/* 檢查T的左子樹的平衡度，並做相應平衡處理 */
case
LH:
/* 新結點插入在T的左孩子的左子樹上，要做單右旋處理 */
(*T)->bf=L->bf=EH;
R_Rotate(T);
break
;
case
RH:
/* 新結點插入在T的左孩子的右子樹上，要做雙旋處理 */
Lr=L->rchild;
/* Lr指向T的左孩子的右子樹根 */
switch
(Lr->bf)
{
/* 修改T及其左孩子的平衡因子 */
case
LH: (*T)->bf=RH;
L->bf=EH;
break
;
case
EH: (*T)->bf=L->bf=EH;
break
;
case
RH: (*T)->bf=EH;
L->bf=LH;
break
;
}
Lr->bf=EH;
L_Rotate(&(*T)->lchild);
/* 對T的左子樹做左旋平衡處理 */
R_Rotate(T);
/* 對T做右旋平衡處理 */
}
}
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首先，定義三個常數變量，分別代碼一、0、-1。
（1）函數被調用，傳入一個需調整平衡型的子樹T。因爲LeftBalance函數被調用時，實際上是已經確認當前子樹是不平衡的狀態，且左子樹的高度大於右子樹的高度。換句話說，此時T的根結點應該是平衡因子BF的值大於1的數。
（2）將T的左孩子賦值給L。
（3）而後是分支判斷。
（4）當L的平衡因子爲LH，即爲1時，代表它與根結點的BF值符號相同，所以，將它們的BF值都改成0，並進行右旋（順時針）操做，操做方式如圖所示。
（5）當L的平衡因子爲RH時，即爲-1時，代表它與根結點的BF值符號相反，此時須要作雙旋操做。針對L的右孩子的BF做判斷，修改結點T和L的BF值。將當前的Lr的BF改成0。
（6）對根結點的左子樹進行左旋，以下圖第二圖所示。
（7）對根結點進行右旋，以下圖第三圖所示，完成平衡操做。
右平衡（使右邊平衡）旋轉處理的函數代碼以下。
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/* 對以指針T所指結點爲根的二叉樹做右平衡旋轉處理， */
/* 本算法結束時，指針T指向新的根結點 */
void
RightBalance(BiTree *T)
{
BiTree R,Rl;
R=(*T)->rchild;
/* R指向T的右子樹根結點 */
switch
(R->bf)
{
/* 檢查T的右子樹的平衡度，並做相應平衡處理 */
case
RH:
/* 新結點插入在T的右孩子的右子樹上，要做單左旋處理 */
(*T)->bf=R->bf=EH;
L_Rotate(T);
break
;
case
LH:
/* 新結點插入在T的右孩子的左子樹上，要做雙旋處理 */
Rl=R->lchild;
/* Rl指向T的右孩子的左子樹根 */
switch
(Rl->bf)
{
/* 修改T及其右孩子的平衡因子 */
case
RH: (*T)->bf=LH;
R->bf=EH;
break
;
case
EH: (*T)->bf=R->bf=EH;
break
;
case
LH: (*T)->bf=EH;
R->bf=RH;
break
;
}
Rl->bf=EH;
R_Rotate(&(*T)->rchild);
/* 對T的右子樹做右旋平衡處理 */
L_Rotate(T);
/* 對T做左旋平衡處理 */
}
}
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插入數據操做以下所示。
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/* 若在平衡的二叉排序樹T中不存在和e有相同關鍵字的結點，則插入一個 */
/* 數據元素爲e的新結點，並返回1，不然返回0。若因插入而使二叉排序樹 */
/* 失去平衡，則做平衡旋轉處理，布爾變量taller反映T長高與否。 */
Status InsertAVL(BiTree *T,
int
e,Status *taller)
{
if
(!*T)
{
/* 插入新結點，樹「長高」，置taller爲TRUE */
*T=(BiTree)
malloc
(
sizeof
(BitNode));
(*T)->data=e; (*T)->lchild=(*T)->rchild=NULL; (*T)->bf=EH;
*taller=TRUE;
}
else
{
if
(e==(*T)->data)
{
/* 樹中已存在和e有相同關鍵字的結點則再也不插入 */
*taller=FALSE;
return
FALSE;
}
if
(e<(*T)->data)
{
/* 應繼續在T的左子樹中進行搜索 */
if
(!InsertAVL(&(*T)->lchild,e,taller))
/* 未插入 */
return
FALSE;
if
(*taller)
/* 已插入到T的左子樹中且左子樹「長高」 */
switch
((*T)->bf)
/* 檢查T的平衡度 */
{
case
LH:
/* 本來左子樹比右子樹高，須要做左平衡處理 */
LeftBalance(T);
*taller=FALSE;
break
;
case
EH:
/* 本來左、右子樹等高，現因左子樹增高而使樹增高 */
(*T)->bf=LH;
*taller=TRUE;
break
;
case
RH:
/* 本來右子樹比左子樹高，現左、右子樹等高 */
(*T)->bf=EH;
*taller=FALSE;
break
;
}
}
else
{
/* 應繼續在T的右子樹中進行搜索 */
if
(!InsertAVL(&(*T)->rchild,e,taller))
/* 未插入 */
return
FALSE;
if
(*taller)
/* 已插入到T的右子樹且右子樹「長高」 */
switch
((*T)->bf)
/* 檢查T的平衡度 */
{
case
LH:
/* 本來左子樹比右子樹高，現左、右子樹等高 */
(*T)->bf=EH;
*taller=FALSE;
break
;
case
EH:
/* 本來左、右子樹等高，現因右子樹增高而使樹增高 */
(*T)->bf=RH;
*taller=TRUE;
break
;
case
RH:
/* 本來右子樹比左子樹高，須要做右平衡處理 */
RightBalance(T);
*taller=FALSE;
break
;
}
}
}
return
TRUE;
}
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說明：
（1）程序開始執行時，若是T爲空時，則申請內存新增一個結點。
（2）若是表示當存在相同結點，則不須要插入。
（3）當新結點e小於T的根結點時，則在T的左子樹查找。
（4）遞歸調用本函數，直到找到則返回FALSE，不然說明插入結點成功，執行下面語句。
（5）當taller爲TRUE時，說明插入結點，此時須要判斷T的平衡因子，若是是1，說明左子樹高於右子樹，須要調用LeftBalance函數進行左平衡旋轉處理。若是爲0或-1，則說明新插入的結點沒有讓整棵二叉排序樹失去平衡性，只需修改相關BF值便可。
（6）說明結點e大於T的根結點的值，在T的右子樹查找。與上面相似。
刪除結點的代碼以下所示。
三、C語言實現
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<strong>#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXSIZE 100 /* 存儲空間初始分配量 */
typedef
int
Status;
/* Status是函數的類型,其值是函數結果狀態代碼，如OK等 */
/* 二叉樹的二叉鏈表結點結構定義 */
typedef
struct
BitNode
/* 結點結構 */
{
int
data;
/* 結點數據 */
int
bf;
/* 結點的平衡因子 */
struct
BitNode *lchild, *rchild;
/* 左右孩子指針 */
} BitNode, *BiTree;
/* 對以p爲根的二叉排序樹做右旋處理 */
/* 處理以後p指向新的樹根結點，即旋轉處理以前的左子樹的根結點 */
//右旋-順時針旋轉(如LL型就得對根結點作該旋轉)
void
R_Rotate(BiTree *P)
{
BiTree L;
L=(*P)->lchild;
/* L指向P的左子樹根結點 */
(*P)->lchild=L->rchild;
/* L的右子樹掛接爲P的左子樹 */
L->rchild=(*P);
*P=L;
/* P指向新的根結點 */
}
/* 對以P爲根的二叉排序樹做左旋處理， */
/* 處理以後P指向新的樹根結點，即旋轉處理以前的右子樹的根結點0 */
//左旋-逆時針旋轉(如RR型就得對根結點作該旋轉)
void
L_Rotate(BiTree *P)
{
BiTree R;
R = (*P)->rchild;
/* R指向P的右子樹根結點 */
(*P)->rchild = R->lchild;
/* R的左子樹掛接爲P的右子樹 */
R->lchild = (*P);
*P = R;
/* P指向新的根結點 */
}
#define LH +1 /* 左高 */
#define EH 0 /* 等高 */
#define RH -1 /* 右高 */
/* 對以指針T所指結點爲根的二叉樹做左平衡旋轉處理 */
/* 本算法結束時，指針T指向新的根結點 */
void
LeftBalance(BiTree *T)
{
BiTree L,Lr;
L = (*T)->lchild;
/* L指向T的左子樹根結點 */
switch
(L->bf)
{
/* 檢查T的左子樹的平衡度，並做相應平衡處理 */
case
LH:
/* 新結點插入在T的左孩子的左子樹上，要做單右旋處理 */
(*T)->bf=L->bf=EH;
R_Rotate(T);
break
;
case
RH:
/* 新結點插入在T的左孩子的右子樹上，要做雙旋處理 */
//
Lr=L->rchild;
/* Lr指向T的左孩子的右子樹根 */
switch
(Lr->bf)
{
/* 修改T及其左孩子的平衡因子 */
case
LH:
(*T)->bf=RH;
L->bf=EH;
break
;
case
EH:
(*T)->bf=L->bf=EH;
break
;
case
RH:
(*T)->bf=EH;
L->bf=LH;
break
;
}
Lr->bf=EH;
L_Rotate(&(*T)->lchild);
/* 對T的左子樹做左旋平衡處理 */
R_Rotate(T);
/* 對T做右旋平衡處理 */
}
}
/* 對以指針T所指結點爲根的二叉樹做右平衡旋轉處理， */
/* 本算法結束時，指針T指向新的根結點 */
void
RightBalance(BiTree *T)
{
BiTree R,Rl;
R=(*T)->rchild;
/* R指向T的右子樹根結點 */
switch
(R->bf)
{
/* 檢查T的右子樹的平衡度，並做相應平衡處理 */
case
RH:
/* 新結點插入在T的右孩子的右子樹上，要做單左旋處理 */
(*T)->bf=R->bf=EH;
L_Rotate(T);
break
;
case
LH:
/* 新結點插入在T的右孩子的左子樹上，要做雙旋處理 */
//最小不平衡樹的根結點爲負，其右孩子爲正
Rl=R->lchild;
/* Rl指向T的右孩子的左子樹根 */
switch
(Rl->bf)
{
/* 修改T及其右孩子的平衡因子 */
case
RH:
(*T)->bf=LH;
R->bf=EH;
break
;
case
EH:
(*T)->bf=R->bf=EH;
break
;
case
LH:
(*T)->bf=EH;
R->bf=RH;
break
;
}
Rl->bf=EH;
R_Rotate(&(*T)->rchild);
/* 對T的右子樹做右旋平衡處理 */
L_Rotate(T);
/* 對T做左旋平衡處理 */
}
}
/* 若在平衡的二叉排序樹T中不存在和e有相同關鍵字的結點，則插入一個 */
/* 數據元素爲e的新結點，並返回1，不然返回0。若因插入而使二叉排序樹 */
/* 失去平衡，則做平衡旋轉處理，布爾變量taller反映T長高與否。 */
Status InsertAVL(BiTree *T,
int
e,Status *taller)
{
if
(!*T)
{
/* 插入新結點，樹「長高」，置taller爲TRUE */
*T=(BiTree)
malloc
(
sizeof
(BitNode));
(*T)->data=e;
(*T)->lchild=(*T)->rchild=NULL;
(*T)->bf=EH;
*taller=TRUE;
}
else
{
if
(e==(*T)->data)
{
/* 樹中已存在和e有相同關鍵字的結點則再也不插入 */
*taller=FALSE;
return
FALSE;
}
if
(e<(*T)->data)
{
/* 應繼續在T的左子樹中進行搜索 */
if
(!InsertAVL(&(*T)->lchild, e, taller))
/* 未插入 */
return
FALSE;
if
(*taller)
/* 已插入到T的左子樹中且左子樹「長高」 */
switch
((*T)->bf)
/* 檢查T的平衡度 */
{
case
LH:
/* 本來左子樹比右子樹高，須要做左平衡處理 */
LeftBalance(T);
*taller=FALSE;
break
;
case
EH:
/* 本來左、右子樹等高，現因左子樹增高而使樹增高 */
(*T)->bf=LH;
*taller=TRUE;
break
;
case
RH:
/* 本來右子樹比左子樹高，現左、右子樹等高 */
(*T)->bf=EH;
*taller=FALSE;
break
;
}
}
else
{
/* 應繼續在T的右子樹中進行搜索 */
if
(!InsertAVL(&(*T)->rchild,e, taller))
/* 未插入 */
{
return
FALSE;
}
if
(*taller)
/* 已插入到T的右子樹且右子樹「長高」 */
{
switch
((*T)->bf)
/* 檢查T的平衡度 */
{
case
LH:
/* 本來左子樹比右子樹高，現左、右子樹等高 */
(*T)->bf=EH;
*taller=FALSE;
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