數據結構之 平衡二叉樹

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AVL樹是根據它的發明者G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis命名的。它是最早發明的自平衡二叉查找樹，也被稱爲高度平衡樹。相比於"二叉查找樹"，它的特色是：AVL樹中任何節點的兩個子樹的高度最大差異爲1。它是一種高度平衡的二叉排序樹。高度平衡？意思是說，要麼它是一棵空樹，要麼它的左子樹和右子樹都是平衡二叉樹，且左子樹和右子樹的深度之差的絕對值不超過1。

    將二叉樹上結點的左子樹深度減去右子樹深度的值稱爲平衡因子BF，那麼平衡二叉樹上的全部結點的平衡因子只多是-一、0和1。只要二叉樹上有一個結點的平衡因子的絕對值大於1，則該二叉樹就是不平衡的。 

    平衡二叉樹的前提是它是一棵二叉排序樹。 

    距離插入結點最近的，且平衡因子的絕對值大於1的結點爲根的子樹，稱爲最小不平衡子樹。以下圖所示，當插入結點37時，距離它最近的平衡因子的絕對值超過1的結點是58。

 

一、平衡二叉樹實現原理 

    平衡二叉樹構建的基本思想就是在構建二叉排序樹的過程當中，每當插入一個結點時，先檢查是否因插入而破壞了樹的平衡性，如果，則找出最小不平衡子樹。在保持二叉排序樹特性的前提下，調整最小不平衡子樹中各結點之間的連接關係，進行相應的旋轉，使之成爲新的平衡子樹。 下面講解一個平衡二叉樹構建過程的例子。如今又a[10] = {3, 2, 1, 4, 5, 6, 7, 10, 9, 8}須要構建二叉排序樹。在沒有學習平衡二叉樹以前，根據二叉排序樹的特性，一般會將它構建成以下左圖。雖然徹底符合二叉排序樹的定義，可是對這樣高度達到8的二叉樹來講，查找是很是不利的。所以，更加指望構建出以下右圖的樣子，高度爲4的二叉排序樹，這樣才能夠提供高效的查找效率。

 

    如今來看看如何將一個數組構成出如上右圖的樹結構。 對於數組a的前兩位3和2，很正常地構建，到了第個數「1」時，發現此時根結點「3」的平衡因子變成了2，此時整棵樹都成了最小不平衡子樹，須要進行調整，以下圖圖1（結點左上角數字爲平衡因子BF值）。由於BF爲正，所以將整個樹進行右旋（順時針），此時結點2成了根結點，3成了2的右孩子，這樣三個結點的BF值均爲0，很是的平衡，以下圖圖2所示。

    而後再增長結點4，平衡因子沒有改變，如上圖圖3。增長結點5時，結點3的BF值爲-2，說明要旋轉了。因爲BF是負值，對這棵最小平衡子樹進行左旋（逆時針旋轉），以下圖圖4，此時整個樹又達到了平衡。

 

    繼續增長結點6時，發現根結點2的BF值變成了-2，以下圖圖6所示。因此對根結點進行了左旋，注意此時原本結點3是結點3的左孩子，因爲旋轉後須要知足二叉排序樹特性，所以它成告終點2的右孩子，如圖7所示。

 

    增長結點7，一樣的左旋轉，使得整棵樹達到平衡，以下圖8和9所示。

    

    當增長結點10時，結構無變化，如圖10所示。再增長結點9，此時結點7的BF變成了-2，理論上只須要旋轉最小不平衡樹七、九、10便可，可是，若是左旋轉後，結點9變成了10的右孩子，這是不符合二叉排序樹的特性的，此時不能簡單的左旋。如圖11所示。

    仔細觀察圖11，發現根本緣由在於結點7的BF是-2，而結點10的BF是1，也就是說，它們兩個一正一負，符號並不統一，而前面的幾回旋轉，不管左仍是右旋，最小不平衡子樹的根結點與它的子結點符號都是相同的。這就是不能直接旋轉的關鍵。 不統一，不統一就把它們先轉到符號統一再說，因而先對結點9和結點10進行右旋，使得結點10成了9的右子樹，結點9的BF爲-1，此時就與結點7的BF值符號統一了，如圖12所示。

     

    這樣再以結點7爲最小不平衡子樹進行左旋，獲得以下圖13。接着，插入8，狀況與剛纔相似，結點6的BF是-2，而它的右孩子9的BF是1，如圖14，所以首先以9爲根結點，進行右旋，獲得圖15，此時結點6和結點7的符號都是負，再以6爲根結點左旋，最終獲得最後的平衡二叉樹，如圖16所示。

  

    經過這個例子，能夠發現，當最小不平衡樹根結點的平衡因子BF是大於1時，就右旋，小於-1時就左旋，如上例中的結點一、五、六、7的插入等。插入結點後，最小不平衡子樹的BF與它的子樹的BF符號相反時，就須要對結點先進行一次旋轉以使得符號相同後，再反向旋轉一次纔可以完成平衡操做，如上例中結點九、8的插入時。

    目前linux kernel裏已再也不使用平衡二叉樹，代之以紅黑樹rbtree。