51nod-1363: 最小公倍數之和

【傳送門：51nod-1363】

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簡要題意：

　　給出一個數n，求出1到n的數與n的最小公倍數的和

　　多組數據

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題解：

　　理所固然推柿子

　　原題至關於求$\sum_{i=1}^{n}\frac{i*n}{gcd(i,n)}$

　　先枚舉d=gcd(i,n)，而後化簡獲得$$n*\sum_{d|n}\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}i[gcd(i,\frac{n}{d})==1]$$

　　至關於求1到n-1中，與n互質的數和，設y<x，若是gcd(y,x)==1，那麼gcd(x-y,x)==1，兩式的貢獻就是x了

　　因此1到n-1中，與n互質的數和爲$\frac{\phi(n)*n}{2}$，特殊的，若是n=1，則數和爲1

　　那麼原式就等於$$n*\sum_{d|n且d不爲n}\frac{\frac{n}{d}*\phi(\frac{n}{d})}{2}+1$$

　　再化簡獲得$$n+\frac{n}{2}\sum_{d|n且d>1}d*phi(d)$$

　　這樣，這個式子就變成$O(\sqrt{n})$，可是多組數據仍會超時

　　實際上咱們將n質因數分解獲得$n=\prod_{i=1}^{x}p[i]^a[i]$

　　由於p[i]兩兩互質，因此能夠轉化爲$$n+\prod_{i=1}^{x}\sum_{j=0}^{a[i]}\phi(p[i]^j)*p[i]^j$$

　　根據歐拉函數的性質能夠獲得$$n+\prod_{i=1}^{x}1+\sum_{j=1}^{a[i]}(p[i]-1)*p[i]^{2j-1}$$

　　再根據等比數列求和公式獲得$$n+\prod_{i=1}^{x}1+(p[i]-1)*\frac{p[i]^{2*a[i]+1}-p[i]}{p[i]^2-1}$$

　　$$n+\prod_{i=1}^{x}1+\frac{p[i]^{2*a[i]+1}-p[i]}{p[i]+1}$$

　　而後線篩素數加速質因數分解就能夠過了，記得最後處理1的狀況

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參考代碼：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL Mod=1e9+7;
int prime[110000],m,v[110000];
void pre(int n)
{
    m=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(v[i]==0)
        {
            v[i]=i;
            prime[++m]=i;
        }
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            if(prime[j]>n/i||prime[j]>v[i]) break;
            v[i*prime[j]]=prime[j];
        }
    }
}
LL p_mod(LL a,LL b)
{
    LL ans=1;
    while(b!=0)
    {
        if(b%2==1) ans=ans*a%Mod;
        a=a*a%Mod;b/=2;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    //freopen("a.in","r",stdin);
    //freopen("a.out","w",stdout);
    pre(100000);
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        int n;
        scanf("%d",&n);
        LL ans=1,d=n;
        for(int i=1;i<=m&&prime[i]<=n/prime[i];i++)
        {
            LL p=prime[i];
            if(n%p==0)
            {
                LL s=0;
                while(n%p==0) s++,n/=p;
                ans=ans*(1+p*((p_mod(p,2LL*s)-1+Mod)%Mod)%Mod*p_mod(p+1,Mod-2)%Mod)%Mod;
            }
        }
        ans=ans*(1+(LL)(n-1)*n%Mod)%Mod;
        ans=(ans-1+Mod)%Mod;
        printf("%lld\n",(ans*d%Mod*p_mod(2LL,Mod-2)%Mod+d)%Mod);
    }
    return 0;
}