遇到「最值問題」還在無腦動態規劃？二分法考慮一下唄

時間 2020-08-19

原文原文鏈接

前言

通常來講，遇到「最值問題」通用的方法都是動態規劃，而有一類「最值問題」能夠用其餘方法更加巧妙、簡單方便的解決，這類問題的常見問法是「使……最大值儘量小」。java

這類問題也是大廠筆試面試常見題型，2020 年美團筆試題、字節面試題中都出現過。

這類問題有三大特徵：面試

求最值（通常是最小值）
值的搜索空間是線性的
對該值有一個限制條件，而且若 x 知足條件，則 [x, +∞) 都知足條件，反之 (-∞, x] 都不知足條件。

<center style="font-size:14px;color:#C0C0C0;text-decoration:underline">你說的我都懂，可問題是，這是啥意思呢？叉會腰，冷靜一下。</center> 算法

爲了方便你們理解這類問題究竟是個什麼玩意兒，本汪在這裏列出 leetcode 上的一道題目做爲例子：數組

給定一個非負整數數組和一個整數 m，你須要將這個數組分紅 m 個非空的連續子數組。設計一個算法使得這 m 個子數組各自和的最大值最小。

不熟悉二分法的同窗初遇此題，看到關鍵詞「分割成 m 份」、「最小」，就想到了動態規劃。誠然此題具有了使用動態規劃的一切前提條件，也確實能夠經過動態規劃作出來，但其時間複雜度爲 $O(n^2×m)$ , 空間複雜度爲 $O(n*m)$. 優化

若是你看了本汪的這篇文章，學會了用二分法解決這一類問題，那麼時間複雜度能夠優化到 $O(n * logx)$，空間複雜度能夠優化到 $O(1)$，而且思路很是簡潔，代碼實現也極其簡單。spa

二分法基礎及變種結構

在講具體的方法以前，本汪先和你們一塊兒回顧下二分法，熟悉二分法的同窗能夠直接跳過這部分。設計

最先接觸二分思想的地方應該是在二分搜索中。（本質上相似快排中的 partition 思想）code

二分法是在有序線性搜索空間內，利用有序性，每次搜索經過排除一半的剩餘搜索空間，使 $O(n)$ 級別的線性搜索優化到 $O(logn)$ 級別的方法。視頻

<center style="font-size:14px;color:#C0C0C0;text-decoration:underline">二叉樹：我都會二分，不會還有人不會二分法吧？不會就讓往西汪那小子教你</center> blog

二分法的基本代碼很是簡單，這裏就很少提了，下面用類 java 語言給出其針對「最值問題」的變種結構：

// nums 數組是搜索空間，m 是限制條件
// check(x, m) 表示在搜索空間 nums 中的點 x，知足了限制條件 m
public int binary(int[] nums, int m){  
      初始化 l, r 爲搜索空間的起始點和終點
    while(l < r){
        int mid = (l + r) >> 1; //二分，一次搜索能夠排除 mid 的左邊或者右邊(剩餘搜索空間的一半)
        if(check(mid, m)) r = mid; //由於這一類最值問題要找的是最小，mid 知足條件了，(mid, r] 就不是最小的答案了
        else l = mid + 1; // mid 不知足條件，根據有序性，[l, mid] 裏的數全不知足條件
    }
    return r;
}

根據結構咱們能夠看出，遇到這類問題的時候只須要找到「搜索空間」、「檢查條件」，而後套用結構就能輕輕鬆鬆地解決問題。

下面就讓咱們來用二分法解決剛剛提到的問題。

小試牛刀

題目

給定一個非負整數數組和一個整數 m，你須要將這個數組分紅 m 個非空的連續子數組。設計一個算法使得這 m 個子數組各自和的最大值最小。

思路

前文說起，解決本題只須要找到「搜索空間」、「檢查條件」，剩下的就是閉着眼睛套結構的事兒了。

先找「搜索空間」，由於此類問題的搜索空間都是線性的，因此找到了起始點和終點，也就找到了搜索空間。

看問題描述「子數組各自和的最大值最小」，也就是說咱們搜索的點是 "子數組各自和的最大值"，那麼搜索空間的起始點是數組 nums 中的最大值，即 min(nums)，搜索空間的終點是數組 nums 中的全部元素之和，即 sum(nums)。所以咱們找到了搜索空間，爲 [min(nums), sum(nums)].

再看「檢查條件」。給定搜索空間 nums，和點 x，判斷 x 是否知足限制條件 m。

本題的條件是「子數組各自和的最大值」，也就是說 x 和 m 個子數組各自和相比較，都要大於或者等於它們。

「搜索空間」、「檢查條件」都找到了，下面閉着眼睛套結構吧～

<center style="font-size:14px;color:#C0C0C0;text-decoration:underline">(瑟瑟發抖.jpg) 好的，這就上代碼</center>

代碼

class Solution {
      // 這個方法就是直接套結構
    public int splitArray(int[] nums, int m) {
        long l = 0, r = 0;
        for(int num: nums) {r += num; l = Math.max(l, num);} // 初始化 l 和 r
        while(l < r) {
            long mid = (l + r) >> 1;
            if(check(nums, mid, m)) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        return (int)r;
    }
    
    public boolean check(int[] nums, long a, int m) { // 給定搜索空間中的點 a，看它是否大於等於全部子數組的各自和
        int cnt = 1;
        long sum = 0;
        for(int n: nums) {
            sum += n;
            if(sum > a) {
                sum = n;
                cnt ++;
                if(cnt > m) return false;
            }
        }
        return true;
    }
}

打怪升級

我們再來看一道題，小夥伴們能夠先本身思考，有思路的話本身動手實現下。再看看本汪給出的思路，加深理解。

題目

珂珂喜歡吃香蕉。這裏有 N 堆香蕉，第 i 堆中有 piles[i] 根香蕉。警衛已經離開了，將在 H 小時後回來。

珂珂能夠決定她吃香蕉的速度 K （單位：根/小時）。每一個小時，她將會選擇一堆香蕉，從中吃掉 K 根。若是這堆香蕉少於 K 根，她將吃掉這堆的全部香蕉，而後這一小時內不會再吃更多的香蕉。

珂珂喜歡慢慢吃，但仍然想在警衛回來前吃掉全部的香蕉。

返回她能夠在 H 小時內吃掉全部香蕉的最小速度 K（K 爲整數）。

<center style="font-size:14px;color:#C0C0C0;text-decoration:underline">往西汪：我請大家吃香蕉，能夠給我點個贊嗎</center>

思路

老規矩，先找「搜索空間」，再找「檢查條件」，最後閉着眼睛套結構。

「搜索空間」：H 小時內必須吃完 sum(piles) 根香蕉，因此初始點爲 sum(piles) / H，一次最多隻能吃一堆，因此終點爲 max(piles)。所以，搜索空間爲 [sum(piles) / H, max(piles)]。

「檢查條件」：「在 H 小時內吃掉全部香蕉」，所以以 K 個 / 小時 的速度吃完香蕉的用時要小於等於 H。

下面就閉着眼睛套結構吧。

代碼

class Solution {
    public int minEatingSpeed(int[] piles, int H) {
        int l = 1, r = 0; // 這裏本汪爲了代碼的簡潔性，在不影響時間複雜度的狀況下，直接讓初始點爲 1
        for(int i: piles) r = Math.max(r, i); // 一次最多吃一堆
        while(l < r){
            int mid = (l + r) >> 1;
            if(check(piles, mid, H)) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        return r;
    }

    boolean check(int[] piles, int K, int H){
        int t = 0;
        for(double i: piles){
            t += Math.ceil(i / K); // 一堆香蕉共計 i 個，須要 ⌈i / K⌉ 個小時吃完
            if(t > H) return false; // 警衛回來了還沒吃完
        }
        return true;
    }
}