並查集_貪心_求無向圖最短連通路徑_最小生成樹(kruskal)

 

A: 樹學家丁丁妹

題目描述

爲了響應國家「退耕還林」的號召，丁丁妹正在將她的大頭菜田改形成樹林。

然而這和這道題並無什麼關係。

重要的是，丁丁妹思考了以下一個問題：

給定一個有n 個點m 條邊的無向圖，每條邊有一個邊權c 。

 

如何選擇n−1 條邊來讓這個無向圖連通，而且使得這n−1條邊的邊權之和最小呢？

顯然這個問題對於丁丁妹來講太困難了，因而她又花重金聘請了你，但願你來解決這個問題。 

輸入描述

單組數據，第一行爲兩個正整數n,m 。

接下來m 行，每行有三個正整數x,y,c ，表示x 號點和y號點之間存在一條邊權爲c 的無向邊。

 

數據保證：

1. 對於80% 的數據， 1 ≤ n,m ≤ 1000

2. 對於100%  的數據，1≤n,m≤1000000

3. 對於100%  的數據， 1 ≤ c ≤ 100

輸出描述

 

一個整數 c ，表明邊權之和的最小值；若沒法選擇n−1條邊讓圖連通，輸出− 1 。

樣例輸入

3 3

1 2 1

1 3 2

2 3 3

樣例輸出

3

 

 

思路:

這個題一看數據量 1e6 這麼大,指定不能用二維數組,因此最短路或者dp直接求實在是行不通,

問的是聯通圖, 最短連通路徑,又須要壓縮空間來優化, 很容易就想到並查集

另外, 注意這裏說的連通路徑不是那種"一筆畫的"歐拉路, 而是 ------- 連通的可交叉的路徑-------相似一棵樹

實際上---------最小生成樹------------就是咱們要求的連通路徑

問題在於怎麼使用並查集來表示一條完整的,"從1-n都能連通的路徑",另外每條路徑都該怎麼算出來

 

並查集來表示存在的連通關係, 咱們知道 find()函數就是爲了 將全部連通的節點歸到同一個"根"上面,

這樣能夠造成一個"同根樹",若是發現全部的節點都只有一個根, 說明這個圖是聯通的,

最小生成樹的求解-----Kruskal算法/Prim算法-----實際上就是貪心!!! 

這裏用Kruskal , 咱們把全部的邊排序,每次操做,

• 檢查是否加入新邊,是否和已有邊連通衝撞
• 是則加入, 而且更新節點的根(合併)

最後只檢查新邊是否和成環,最後檢查是否全部的點都連通,檢查邊的數目是否爲n-1便可

注意合併是怎樣的,好比

      6         和       4                  

1    3   5           2     7

 存在5,2 之間有一條邊, 顯然不是5-2合併,由於這樣就會有兩個根了, 檢測連通靠的是根是否相同,

因此, 另外一棵樹的根,   也就是6  ,接到另外一棵樹,

至於怎麼接,    這裏看須要, 若是保持結構的話, 就要以5爲根旋轉成, 

  5              相似於平衡樹, 6的爸爸變成5,   而後 5 的爸爸變成2,這樣就保持了原來的結構性質

  6

1   3

若是須要完全壓縮,儘可能優化查找時間,那就讓, 6, 1, 3, 5 的爸爸變成 4

假如不要求時間和效率, 咱們只要求聯通路徑長, 簡單合併就能夠了 

----好比, 6---右邊的爸爸-------變成--------左邊的爸爸-------2也能夠獲得確結果,以下代碼,  可是會TE

 

1 int l=find(x[i].l);
2 int r=find(x[i].r);
3 f(r!=l) {
4     k++;
5     ans+=x[i].d;
6     f[r]=x[i].l;
7 }

 

改爲了把6的爸爸變成4, 仍是TE,6---右邊的爸爸-------變成--------左邊的爸爸-------2

1 if(r!=l) {
2     k++;
3     ans+=x[i].d;
4     f[r]=l;
5 }

 

緣由在於沒有固定好一個策略合併, "右邊的合併到左邊的"並非一個有序的策略,

由於節點是有序號的, 可是, 輸入的時候並無規定大的節點必定在右邊

也不能保證, 好比大的節點合併到小的那裏去,

因此加個判斷條件,改爲這樣就過了

1 if(r!=l) {
2     k++;
3     ans+=x[i].d;
4     if(r>l)f[r]=l;
5     else f[l]=r;
6 }

完整代碼:

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cstring>
 4 #include <algorithm>
 5 using namespace std;
 6 typedef long long ll;
 7 const int M=1000000+10;
 8 int n,m;
 9 struct D {
10     int l,r;
11     int d;
12     D() {
13         l=0,r=0,d=0;
14     }
15 } x[M];
16 int f[M];
17 void init() {
18     for(int i=1; i<=n; i++) {
19         f[i]=i;
20     }
21 }
22 int find(int t) {
23     return f[t]==t?t:find(f[t]);
24 }
25 /*
26 int find(int t1) {
27     int t=t1;
28     while(f[t]!=t) {
29         t=f[t];
30     }
31     return t;
32 }
33 */
34 bool cmp(D a,D b) {
35     return a.d<b.d;
36 }
37 int main () {
38     memset(x,0,sizeof(x));
39     scanf("%d%d",&n,&m);
40     init();
41     ll ans=0;
42     for(int i=1; i<=m; i++) {
43         int l,r;
44         scanf("%d%d%d",&x[i].l,&x[i].r,&x[i].d);
45     }
46     sort(x+1,x+1+m,cmp);
47     int k=0;
48     bool t=0;
49     for(int i=1; i<=m; i++) {
50         int l=find(x[i].l);
51         int    r=find(x[i].r);
52         if(r!=l) {
53             k++;
54             ans+=x[i].d;
55             if(r>l)f[r]=l;
56             else f[l]=r;
57         }
58         if(k==n-1) {
59             t=1;
60             break;
61         }
62     }
63     if(t==0)cout<<"-1";
64     else printf("%lld",ans);
65     cout<<"\n";
66     return 0;
67 }

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