【九度OJ1373】|【劍指offer32】整數中1出現的次數（從1到n整數中1出現的次數）

題目描述：

親們！！咱們的外國友人YZ這幾天老是睡很差,初中奧數裏有一個題目一直困擾着他,特此他向JOBDU發來求助信,但願親們能幫幫他。問題是：求出1~13的整數中1出現的次數,並算出100~1300的整數中1出現的次數？爲此他特別數了一下1~13中包含1的數字有1、10、11、12、13所以共出現6次,可是對於後面問題他就沒轍了。ACMer但願大家幫幫他,並把問題更加廣泛化,能夠很快的求出任意非負整數區間中1出現的次數。

輸入：

輸入有多組數據,每組測試數據爲一行。

每一行有兩個整數a,b(0<=a,b<=1,000,000,000)。

輸出：

對應每一個測試案例,輸出a和b之間1出現的次數。

樣例輸入：

0 5
1 13
21 55
31 99

樣例輸出：

1
6
4
7

分析：

次題爲編程之美上的經典例題從0開始到某個數N有多少個1的變形;

方法一：
遍歷0到N的每一個數統計每一個數中1出現的個數，可是這個算法的致命問題是效率，它的時間複雜度是O(N)*計算一個整數數字裏面「1」的個數的複雜度=O(N*logN)

方法二：（參考：http://blog.csdn.net/zcsylj/article/details/6393315）

  仔細分析這個問題，給定了N，彷佛就能夠經過分析「小於N的數在每一位上可能出現1的次數」之和來獲得這個結果。讓咱們來分析一下對於一個特定的N，如何獲得一個規律來分析在每一位上全部出現1的可能性，並求和獲得最後的f(N)。

先從一些簡單的狀況開始觀察，看能不能總結出什麼規律。

     先看1位數的狀況。

      若是N=3，那麼從1到3的全部數字：一、二、3，只有個位數字上可能出現1，並且只出現1次，進一步能夠發現若是N是個位數，若是N>=1，那麼f(N)都等於1，若是N=0，則f(N)爲0。

     再看2位數的狀況。

     若是N=13，那麼從1到13的全部數字：一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、十一、十二、13，個位和十位的數字上均可能有1，咱們能夠將它們 分開考慮，個位出現1的次數有兩次：1和11，十位出現1的次數有4次：十、十一、12和13，因此f(N)=2+4=6。要注意的是11這個數在十位和個位都出現了1，可是11剛好在個位爲1和十位爲1中被計算了兩次，因此不用特殊處理，是對的。再 考慮N=23的狀況，它和N=13有點不一樣，十位出現1的次數爲10次，從10到19，個位出現1的次數一、十一、21，因此f(N)=3+10=13。 經過對兩位數進行分析，咱們發現，個位出現1的次數不只和個位數字有關，還和十位數有關：若是N的個位數大於等於1，則個位出現1的次數爲十位數的數字加 1；若是N的個位數爲0，則個位出現1的次數等於十位數的數字。而十位數字上出現1的次數不只和十位數有關，還和個位數有關：若是十位數字等於1，則十位 數上出現1的次數爲個位數的數字加1；若是十位數大於1，則十位數上出現1的次數爲10。

     例如：

            f(13)=個位出現1的個數+十位出現1的個數=2+4=6；

            f(23)=個位出現1的個數+十位出現1的個數=3+10=13；

            f(33)=個位出現1的個數+十位出現1的個數=4+10=14；

              ……

            f(93)=個位出現1的個數+十位出現1的個數=10+10=20；

 

     接着分析3位數。

      若是N=123:

     個位出現1的個數爲13：1，11，21，…，91，101，111，121

     十位出現1的個數爲20：10~19，110~119

      百位出現1的個數爲24：100~123

     f(123)=個位出現1的個數+十位出現1的個數+百位出現1的次數=13+20+24=57；

     同理咱們能夠再分析4位數、5位數。

    讀者朋友們能夠寫一寫，總結一下各類狀況有什麼不一樣。

 

     根據上面的一些嘗試，下面咱們推導出通常狀況下，從N獲得f(N) 的計算方法：

     假設N=abcde，這裏a、b、c、d、e分別是十進制數N的各個位數上的數字。若是要計算百位上出現1的次數，它將會受到三個因素的影響：百位上的數字，百位如下(低位)的數字，百位(更高位)以上的數字。

     若是百位上的數字爲0，則能夠知道，百位上可能出現1的次數由更高位決定，好比12013，則能夠知道百位出現1的狀況多是100~199，1 100~1 199，2 100~2 199，…，11 100~11 199，一共有1200個。也就是由更高位數字（12）決定，而且等於更高位數字（12）*當前位數（100）。

      若是百位上的數字爲1，則能夠知道，百位上可能出現1的次數不只受更高位影響，還受低位影響，也就是由更高位和低位共同決定。例如對於12113，受更高位影響，百位出現1的狀況是100~199，1 100~1 199，2 100~2 199，…，11 100~11 199，一共有1200個，和上面第一種狀況同樣，等於更高位數字（12）*當前位數（100）。它還受低位影響，百位出現1的狀況是12 100~12 113，一共114個，等於低位數字（113）+1。

     若是百位上數字大於1（即爲2~9），則百位上可能出現1的次數也僅由更高位決定，好比12 213，則百位出現1的可能性爲100~199，1 100~1 199，2 100~2 199，…，11 100~11 199，12 100~12 199，一共有1300個，而且等於更高位數字+1（12+1）*當前位數（100）。

      經過上面的概括和總結，咱們能夠寫出以下的更高效算法來計算f(N)：

   ‍其算法思路是：經過對數字進行有規律的總結，發現從1到N，中出現的全部的1的總數。能夠從N這個數總結出來的。

      那麼出現1的總數應該等於，個位上出現1的次數+十位上出現1的次數+百位上出現1的次數+。。。。。。

     因此對於一個數abcde，取百位上的c來計算，

              倘若c是"1",那麼百位上1的個數是由他的高位和低位來決定的。等於ab*100+cde+1;

              倘若c是"0",那麼百位上1的個數是ab*100；

               假如c是大於1，那麼 百位上1的個數是（ab+1）*100；

Java實現：

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.StreamTokenizer;

public class Main {

	public static int sum(int n){
		if(n < 1)return 0;
		int count = 0;
		int Factor = 1;
		int LowerNum = 0;
		int CurrNum = 0;
		int HigherNum = 0;
		while(n/Factor != 0){
			LowerNum = n - (int)Math.floor(n/Factor)*Factor;
			CurrNum = (n/Factor)%10;
			HigherNum = n/(Factor*10);
			switch(CurrNum){
				case 0:
					count += HigherNum*Factor;
					break;
				case 1:
					count += HigherNum*Factor + LowerNum + 1;
					break;
				default:
					count += (HigherNum + 1) * Factor;
					break;
			}
			Factor *= 10;
		}
		return count;
	}
	public static void main(String[] args) throws IOException {
		StreamTokenizer st = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));
		while(st.nextToken() != StreamTokenizer.TT_EOF){
			int a = (int) st.nval;
			st.nextToken();
			int b = (int) st.nval;
			if(a < b)
				System.out.println(sum(b) - sum(a-1));
			else
				System.out.println(sum(a) - sum(b-1));
		}
		
	}

}