樹狀數組詳解

時間 2019-11-08

標籤樹狀數組詳解简体版

原文原文鏈接

先來看幾個問題吧。c++

1.什麼是樹狀數組？

顧名思義，就是用數組來模擬樹形結構唄。那麼衍生出一個問題，爲何不直接建樹？答案是不必，由於樹狀數組能處理的問題就不必建樹。和Trie樹的構造方式有相似之處。數組

2.樹狀數組能夠解決什麼問題

能夠解決大部分基於區間上的更新以及求和問題。編輯器

3.樹狀數組和線段樹的區別在哪裏

樹狀數組能夠解決的問題均可以用線段樹解決，這二者的區別在哪裏呢？樹狀數組的係數要少不少，就好比字符串模擬大數能夠解決大數問題，也能夠解決1+1的問題，但沒人會在1+1的問題上用大數模擬。spa

4.樹狀數組的優勢和缺點

修改和查詢的複雜度都是O(logN)，並且相比線段樹係數要少不少，比傳統數組要快，並且容易寫。.net

缺點是遇到複雜的區間問題仍是不能解決，功能仍是有限。code

1、樹狀數組介紹

二叉樹你們必定都知道，以下圖blog

若是每一個父親都存的是兩個兒子的值，是否是就能夠解決這類區間問題了呢。是的沒錯，可是這樣的樹形結構，叫作線段樹。ci

那真的的樹形結構是怎樣的，和上圖相似，但省去了一些節點，以達到用數組建樹。字符串

黑色數組表明原來的數組（下面用A[i]代替），紅色結構表明咱們的樹狀數組(下面用C[i]代替)，發現沒有，每一個位置只有一個方框，令每一個位置存的就是子節點的值的和，則有get

C[1] = A[1];
C[2] = A[1] + A[2];
C[3] = A[3];
C[4] = A[1] + A[2] + A[3] + A[4];
C[5] = A[5];
C[6] = A[5] + A[6];
C[7] = A[7];
C[8] = A[1] + A[2] + A[3] + A[4] + A[5] + A[6] + A[7] + A[8];

能夠發現，這顆樹是有規律的

C[i] = A[i - 2^k+1] + A[i - 2^k+2] + ... + A[i]; //k爲i的二進制中從最低位到高位連續零的長度

例如i = 8(1000)時候，k = 3，可自行驗證。

這個怎麼實現求和呢，好比咱們要找前7項和，那麼應該是SUM = C[7] + C[6] + C[4];

而根據上面的式子，容易的出SUM_i = C[i] + C[i-2^k1] + C[(i - 2^k1) - 2^k2] + .....；

其實樹狀數組就是一個二進制上面的應用。

如今新的問題來了2^k該怎麼求呢，不可貴出2^k = i&(i^(i-1));但這個仍是很差求出呀，前輩的智慧就出來了，2^k = i&(-i);

爲何呢？

這裏利用的負數的存儲特性，負數是以補碼存儲的，對於整數運算 x&(-x)有
● 當x爲0時，即 0 & 0，結果爲0；
●當x爲奇數時，最後一個比特位爲1，取反加1沒有進位，故x和-x除最後一位外前面的位正好相反，按位與結果爲0。結果爲1。
●當x爲偶數，且爲2的m次方時，x的二進制表示中只有一位是1（從右往左的第m+1位），其右邊有m位0，故x取反加1後，從右到左第有m個0，第m+1位及其左邊全是1。這樣，x& (-x) 獲得的就是x。
●當x爲偶數，卻不爲2的m次方的形式時，能夠寫做x= y * (2^k)。其中，y的最低位爲1。實際上就是把x用一個奇數左移k位來表示。這時，x的二進制表示最右邊有k個0，從右往左第k+1位爲1。當對x取反時，最右邊的k位0變成1，第k+1位變爲0；再加1，最右邊的k位就又變成了0，第k+1位由於進位的關係變成了1。左邊的位由於沒有進位，正好和x原來對應的位上的值相反。兩者按位與，獲得：第k+1位上爲1，左邊右邊都爲0。結果爲2^k。
總結一下：x&(-x)，當x爲0時結果爲0；x爲奇數時，結果爲1；x爲偶數時，結果爲x中2的最大次方的因子。

並且這個有一個專門的稱呼，叫作lowbit，即取2^k。

2、如何創建樹狀數組

上面已經解釋瞭如何用樹狀數組求區間和，那麼若是咱們要更新某一個點的值呢，仍是同樣的，上面說了C[i] = A[i - 2^k+1] + A[i - 2^k+2] + ... + A[i]，那麼若是咱們更新某個A[i]的值，則會影響到全部包含有A[i]位置。若是求A[i]包含哪些位置裏呢，同理有

A[i] 包含於 C[i + 2^k]、C[(i + 2^k) + 2^k]...；

好，如今已經搞清楚了更新和求和，就能夠來建樹狀數組了。若是上面的求和、更新或者lowbit步驟還沒搞懂的化，建議再思考弄懂再往下看。

那麼構造一個樹狀數組則爲

 1 int n;
 2 int a[1005],c[1005]; //對應原數組和樹狀數組
 3 
 4 int lowbit(int x){
 5     return x&(-x);
 6 }
 7 
 8 void updata(int i,int k){    //在i位置加上k
 9     while(i <= n){
10         c[i] += k;
11         i += lowbit(i);
12     }
13 }
14 
15 int getsum(int i){        //求A[1 - i]的和
16     int res = 0;
17     while(i > 0){
18         res += c[i];
19         i -= lowbit(i);
20     }
21     return res;
22 }

這樣就構造了一個樹狀數組。下面看一道模板題目吧。

題目連接：https://vjudge.net/problem/HDU-1166

直接看代碼吧

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 
 4 int n,m;
 5 int a[50005],c[50005]; //對應原數組和樹狀數組
 6 
 7 int lowbit(int x){
 8     return x&(-x);
 9 }
10 
11 void updata(int i,int k){    //在i位置加上k
12     while(i <= n){
13         c[i] += k;
14         i += lowbit(i);
15     }
16 }
17 
18 int getsum(int i){        //求A[1 - i]的和
19     int res = 0;
20     while(i > 0){
21         res += c[i];
22         i -= lowbit(i);
23     }
24     return res;
25 }
26 
27 int main(){
28     int t;
29     cin>>t;
30     for(int tot = 1; tot <= t; tot++){
31         cout << "Case " << tot << ":" << endl;
32         memset(a, 0, sizeof a);
33         memset(c, 0, sizeof c);
34         cin>>n;
35         for(int i = 1; i <= n; i++){
36             cin>>a[i];
37             updata(i,a[i]);   //輸入初值的時候，也至關於更新了值
38         }
39 
40         string s;
41         int x,y;
42         while(cin>>s && s[0] != 'E'){
43             cin>>x>>y;
44             if(s[0] == 'Q'){    //求和操做
45                 int sum = getsum(y) - getsum(x-1);    //x-y區間和也就等於1-y區間和減去1-(x-1)區間和
46                 cout << sum << endl;
47             }
48             else if(s[0] == 'A'){
49                 updata(x,y);
50             }
51             else if(s[0] == 'S'){
52                 updata(x,-y);    //減去操做，即爲加上相反數
53             }
54         }
55 
56     }
57     return 0;
58 }

這就是最簡單的點更新區間求和了。

3、樹狀數組的幾種變式(區間更新，區間查詢)

上面介紹的是最普通的單點更新，區間查詢，但若是有些時候是區間更新，單點求和怎麼半，又或是區間更新，區間求和怎麼辦。這裏將介紹各類狀況該怎麼寫。

若是上面的單點更新，區間查詢還沒看懂，建議再思考再往下看。

1.單點更新、單點查詢

傳統數組可作

2.單點更新、區間查詢

已講解，詳細看上面

3.區間更新、單點查詢

這就是第一個問題，若是題目是讓你把x-y區間內的全部值所有加上k或者減去k，而後查詢操做是問某個點的值，這種時候該怎麼作呢。若是是像上面的樹狀數組來講，就必須把x-y區間內每一個值都更新，這樣的複雜度確定是不行的，這個時候，就不能再用數據的值建樹了，這裏咱們引入差分，利用差分建樹。

假設咱們規定A[0] = 0;

則有 A[i] = Σⁱ_{j = 1}D[j];(D[j] = A[j] - A[j-1])，即前面i項的差值和，這個有什麼用呢？例如對於下面這個數組

A[] = 1 2 3 5 6 9
D[] = 1 1 1 2 1 3

若是咱們把[2,5]區間內值加上2，則變成了

A[] = 1 4 5 7 8 9
D[] = 1 3 1 2 1 1

發現了沒有，當某個區間[x,y]值改變了，區間內的差值是不變的，只有D[x]和D[y+1]的值發生改變，至於爲何我想我就不用解釋了吧。

因此咱們就能夠利用這個性質對D[]數組創建樹狀數組，代碼爲：

 1 int n,m;
 2 int a[50005] = {0},c[50005]; //對應原數組和樹狀數組
 3 
 4 int lowbit(int x){
 5     return x&(-x);
 6 }
 7 
 8 void updata(int i,int k){    //在i位置加上k
 9     while(i <= n){
10         c[i] += k;
11         i += lowbit(i);
12     }
13 }
14 
15 int getsum(int i){        //求D[1 - i]的和，即A[i]值
16     int res = 0;
17     while(i > 0){
18         res += c[i];
19         i -= lowbit(i);
20     }
21     return res;
22 }
23 
24 int main(){
25     cin>>n;27     for(int i = 1; i <= n; i++){
28         cin>>a[i];
29         updata(i,a[i] - a[i-1]);   //輸入初值的時候，也至關於更新了值
31     }
32     
33     //[x,y]區間內加上k
34     updata(x,k);    //A[x] - A[x-1]增長k
35     updata(y+1,-k);        //A[y+1] - A[y]減小k
36     
37     //查詢i位置的值
38     int sum = getsum(i);
39 
40     return 0;
41 }

這樣就把，原來要更新一個區間的值變成了只須要更新兩個點。也很容易理解吧。

4.區間更新、區間查詢

上面咱們說的差值建樹狀數組，獲得的是某個點的值，那若是我既要區間更新，又要區間查詢怎麼辦。這裏咱們仍是利用差分，由上面可知

∑ⁿ_{i = 1}A[i] = ∑ⁿ_{i = 1} ∑ⁱ_{j = 1}D[j];

則A[1]+A[2]+...+A[n]

= (D[1]) + (D[1]+D[2]) + ... + (D[1]+D[2]+...+D[n])

= n*D[1] + (n-1)*D[2] +... +D[n]

= n * (D[1]+D[2]+...+D[n]) - (0*D[1]+1*D[2]+...+(n-1)*D[n])

因此上式能夠變爲∑ⁿ_{i = 1}A[i] = n*∑ⁿ_{i = 1}D[i] - ∑ⁿ_{i = 1}( D[i]*(i-1) );

若是你理解前面的都比較輕鬆的話，這裏也就知道要幹嗎了，維護兩個數狀數組，sum1[i] = D[i]，sum2[i] = D[i]*(i-1);

 1 int n,m;
 2 int a[50005] = {0};
 3 int sum1[50005];    //(D[1] + D[2] + ... + D[n])
 4 int sum2[50005];    //(1*D[1] + 2*D[2] + ... + n*D[n])
 5 
 6 int lowbit(int x){
 7     return x&(-x);
 8 }
 9 
10 void updata(int i,int k){
11     int x = i;    //由於x不變，因此得先保存i值
12     while(i <= n){
13         sum1[i] += k;
14         sum2[i] += k * (x-1);
15         i += lowbit(i);
16     }
17 }
18 
19 int getsum(int i){        //求前綴和
20     int res = 0, x = i;
21     while(i > 0){
22         res += x * sum1[i] - sum2[i];
23         i -= lowbit(i);
24     }
25     return res;
26 }
27 
28 int main(){
29     cin>>n;
30     for(int i = 1; i <= n; i++){
31         cin>>a[i];
32         updata(i,a[i] - a[i-1]);   //輸入初值的時候，也至關於更新了值
33     }
34 
35     //[x,y]區間內加上k
36     updata(x,k);    //A[x] - A[x-1]增長k
37     updata(y+1,-k);        //A[y+1] - A[y]減小k
38 
39     //求[x,y]區間和
40     int sum = getsum(y) - getsum(x-1);
41 
42     return 0;
43 }