數據結構——樹狀數組詳解

時間 2019-11-11

標籤數據結構樹狀數組詳解简体版

原文原文鏈接

一.概念程序員

　樹狀數組(Binary Indexed Tree(B.I.T), Fenwick Tree)是一個查詢和修改複雜度都爲log(n)的數據結構。主要用於查詢任意兩位之間的全部元素之和，可是每次只能修改一個元素的值；通過簡單修改能夠在log(n)的複雜度下進行範圍修改，可是這時只能查詢其中一個元素的值(若是加入多個輔助數組則能夠實現區間修改與區間查詢)。算法

　　這種數據結構（算法）並無C++和Java的庫支持，須要本身手動實現。在Competitive Programming的競賽中被普遍的使用。樹狀數組和線段樹很像，但能用樹狀數組解決的問題，基本上都能用線段樹解決，而線段樹能解決的樹狀數組不必定能解決。相比較而言，樹狀數組效率要高不少。——百度百科　

　　首先明確一點，樹狀數組的本質仍是數組。

二.問題的引入

　　先來看這樣一道題目：

　　　　要想查看本題，請點這裏（有一些區別，本質相同）數組

　　　若是直接用數組進行模擬，修改的時間複雜度是O（1），查詢是O（n），m次查詢操做的時間複雜度就是O（mn），時間複雜度太高。數據結構

　　　樹狀數組就能夠輕鬆處理這類問題，它是一個查詢和修改的複雜度都爲log（n）的數據結構。函數

　　　來看一下樹狀數組的樣子：

圖片出自水印。

　　　　A表明原來的數組，C表明樹狀數組。爲何樹狀數組要長成這樣？優化

　　　明確一點：樹狀數組是對二進制的應用。spa

　　　咱們不妨把全部的數字都轉換爲二進制。來觀察一下數字特徵：code

　　　　舉幾個例子：blog

　　　用C來表明樹狀數組，用A來表明原數組：圖片

　　　C（2） = A（1）+ A（2）對應二進制 C（0010） = A（0010） + A（0001）

　　　C（4） = A（4）+A（2）+A（3）對應二進制C（0100） = A（0100）+A（0010）+ A（0011）

　　　C（8） = A（8）+A（4）+A（6）+A（7）對應二進制C（1000） = A（1000）+A（0100）+A（0110）+A（0111）

　　　......

　　　不難發現，對於任意的C[i]寫成二進制的形式，都等於原來的數組A[i]的值自己，加上把i轉換成二進制後，把首位變成0，而且開始逐位向後把0變成1，相加。

　　　例如： 1000（二進制）向後逐位變化，即1000--> 0100-->0110>0111

　　　......

　　　構建出這樣的樹狀數組後：

　　　查詢A1到A8的和，只須要返回C8

　　　查詢A1到A7，只需返回C7+C6+C4

　　　查詢A1到A6，只須要返回C6+C4

　　　以此類推。

　　　這樣便優化了詢問的時間複雜度。

　　　那麼說的這麼好聽，如何作到修改A的值時，順便更新C的全部關於A的值呢？（例如，修改A[1]的時候更新C1,C2,C4,C8）

三.補碼、lowbit函數

　　1.補碼

　　　首先說一說補碼。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　——百度百科。

　　　補碼是計算機表示符號數的一種方式，概念內容太雜亂，對於咱們樹狀數組沒有太大的用處，只須要了解兩個事情：

　　　·正整數的補碼和原碼（原來的二進制的代碼）相同。

　　　·負整數的補碼將其正整數的原碼全部爲取反（0變1,1變0），以後加一。

　　　2.lowbit函數

　　　lowbit函數即是幫助咱們找到二進制表達式中最低位1所對應的值。

　　　好比，6的二進制是110，因此lowbit(6)=2。　

　　　lowbit的實現方式一共兩種：我的推薦下面這種寫法：　　

　　int lowbit(int x) 　　{ 　　 return x&(-x); 　　}

　　　　　&符號意思爲按位與，把兩個數的二進制一位一位比較，都爲1，結果則爲1，不然就是0。

　　　　這個函數什麼意思？將一個數x的原碼和補碼按位與？返回的就是最後一位1？

　　　　的確是這樣。

　　　　舉個例子（example）：

　　　　　　6 = 0110（二進制）

　　　　　　它的補碼爲0010。按位與以後獲得的確實就是最後一位1。

　　　　正是由於補碼在取反後+1，纔有了lowbit函數的產生。

　　　　您不妨打開計算器，切換到程序員模式，試上幾組，或許會有新的領悟。

　　　　畢竟「紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行」。

　　　　......

　　3.lowbit查詢與更新的應用:

　　　　首先先來運行一段代碼:

　　#include<stdio.h> 　　int main() 　　{ 　　 int i,j; 　　for(i=1;i<=8;i++) 　　{ 　　 printf("%d:",i); 　　for(j=i;j<=8;j+=j&-j) 　　 printf("%d ",j); 　　printf("\n"); 　　} 　　return 0; 　　}

　　　　Output：
　　　1: 1 2 4 8
　　　2: 2 4 8
　　　3: 3 4 8
　　　4: 4 8
　　　5: 5 6 8
　　　6: 6 8
　　　7: 7 8
　　　8: 8

　　　　圖片數字對比來看更新A1,須要更新C1,C2,C4,C8。

　　　更新A2，須要更新C2,C4,C8。更新A3，須要更新C3,C4,C8.....

　　　正好與咱們代碼運行出來的結果一致。這就爲咱們向上更新提供了條件。

　　　再來看一下查詢。若是查詢A1到A8和，只須要返回C8，查詢A1到A7，只須要返回C7+C6+C4

　　　再來看下面這組代碼：

　　#include<stdio.h> 　　int main() 　　{ 　　 int i,j; 　　 for(i=1;i<=8;i++) 　　 { 　　 printf("%d:",i); 　　 for(j=i;j;j-=j&-j) 　　 printf("%d ",j); 　　 printf("\n"); 　　 } 　　 return 0; 　　}

　　Output：
　　1: 1
　　2: 2
　　3: 3 2
　　4: 4
　　5: 5 4
　　6: 6 4
　　7: 7 6 4
　　8: 8

　　這段代碼只是將以前的i+=lowbit（i）修改成了i-=lowbit（i）

　　再對比以前原圖，查詢A1到A8，只須要返回C8，查詢A1到A7，只須要返回C7,C6,C4與咱們代碼運行的效果一致，這就爲咱們向下查詢提供了條件。

四.樹狀數組應用

　　再回頭看以前引出樹狀數組的題目，這時候就能夠有必定的思路了。

　　樹狀數組主要的函數分爲兩個，即更新函數和查詢函數。

    void fix(int x) { int i; for(i=x;i<=n;i+=i&-i)    //向上更新
            e[i]++;        //一維樹狀數組e
 } //注意fix()的形參值x<=0時死循環。
    int getsum(int x) { int ret=0,i;       //返回值爲ret，初值爲0
        for(i=x;i;i-=i&-i)//向下查詢
            ret+=e[i]; return ret; } //注意getsum()的形參值x<0時e[ ]數組越界。

    void fix(int x) { int i; for(i=x;i;i-=i&-i)    //向下更新
            e[i]++; } int getsum(int x) { int ret=0,i; for(i=x;i<=n;i+=i&-i)//向上查詢
            ret+=e[i]; return ret; }

　　　樹狀數組能夠有兩個方向，1.向下更新，向上查詢 2.向上更新，向下查詢。本題用的是向上更新，向下查詢。

注意：樹狀數組更新時是增長量，初始時候更新量就是它自己。

　　因此開始時利用更新函數，將每個點更新，以後只要輸出就好了。

　　代碼：

#include<stdio.h>
int a[100005]; int c[100005]; int n; int lowbit(int x) { return x&(-x); } void add(int x,int ad) { for(int i = x;i<=n;i+=lowbit(i)) { c[i]+=ad; } } int getsum(int x) { int ans = 0; for(int i = x;i>0;i-=lowbit(i)) { ans+=c[i]; } return ans; } int main() { scanf("%d",&n); for(int i = 1;i<=n;i++) { scanf("%d",&a[i]); add(i,a[i]); } int m; scanf("%d",&m); for(int i = 1;i<=m;i++) { char s[2]; int x,y; scanf("%s%d%d",s,&x,&y); if(s[0]=='C') { add(x,y-a[x]); a[x] = y; }else { printf("%d\n",getsum(y) - getsum(x-1)); } } return 0; }