線段樹

時間 2019-11-29

標籤線段简体版

原文原文鏈接

引入：數組

咱們常常會遇到須要維護一個序列的問題，例如，給定一個整數序列，每次操做會修改某個位置或某個區間的值，或是詢問你序列中的某個區間內全部數的和。或許你可能回去暴力出奇跡或者使用前綴和，可是當數據很大時，時間複雜度明顯是受不了的。那麼，就須要引入一種時間複雜度相對較小的數據結構 ——線段樹數據結構

目錄優化

　　基礎ui

　　　　├ 關於線段樹spa

　　　　├ 建樹3d

　　　　├ 區間查詢code

　　　　└ 單點修改blog

　　進階
遞歸

　　　　├ 延遲標記ip

　　　　│ 　　└ 區間修改單點查詢

　　　　└ 區間修改區間查詢

　　　　├ 標記下傳

　　　　└ 標記永久化

基礎篇

關於線段樹

　　線段樹是一課二叉樹樹上的每個結點對應序列的一段區間，以下圖：

　　不難發現，根節點對應的區間時[0,n-1]，而每一個結點對應一個區間[l,r]，且當l=r時，該結點爲葉結點，無左右兒子，不然令 mid = (l + r) / 2 ,則左兒子對應的區間爲[l,mid]，右兒子爲[mid+1,r]。同時，也不難發現，最後一行有n個結點，倒數第二行有n/2個結點，倒數第三行有n/4個結點，以此即可以推出一個線段樹有n+n/2+n/4+...+1=2*n+1個結點，可是要注意，線段樹數組務必要開4倍。設線段樹的深度爲h，那麼h爲O(logn)級別，當咱們須要維護的序列長度爲2的整數次冪時，這個線段數爲滿二叉樹，不然最後一層可能不滿

建樹

　　注：接下來的一系列操做都以求區間和爲例

　　設序列a：5,3,7,9,6,4,1,2，咱們將其用線段樹構建出來，即

　　對應的區間和如圖

　　從圖中能夠看出除葉結點區間和爲它自己外，其餘節點的區間和均爲其左右兒子區間和之和。以此，能夠經過遞歸建樹，並在遞歸後對其區間和進行維護

 1 void build(int k,int l,int r){   //k爲結點編號，l爲區間左端點，r爲區間右端點 
 2     if (l == r){  //若是該點爲葉結點 
 3         sum[k] = a[l];  //區間和即爲自己 
 4         return;
 5     }
 6     int mid  = l + r >> 1; //取中間值，位運算優化常數 
 7     build(k << 1,l,mid); //構建左子樹 
 8     build(k << 1 | 1,mid + 1,r); //構建右子樹 
 9     sum[k] = sum[k << 1] + sum[k << 1 | 1]; //維護該區間區間和 
10 }

區間查詢

　　若是咱們要查詢區間和[0,6]，那麼咱們需訪問3個區間

　　那麼在查詢過程當中，會有如下三種狀況

　　　　├ 當前區間與需查詢區間無交集，返回 0

　　　　├ 當前區間被需查詢區間徹底包含，返回該結點對應區間和

　　　　└ 當前區間與需查詢區間有交集，但不被徹底包含，遞歸其左右子樹進行查詢

1 int query(int k,int x,int y,int l,int r){ //k爲結點編號，x爲當前區間左端點，y爲當前區間右端點，
2                                           //l爲需查詢區間左端點，r爲需查詢區間右端點 
3     if (x > r || y < l) return 0; //若是無交集，返回0 
4     if (x >= l && y <= r) return sum[k]; //若是徹底包含，返回該結點區間和 
5     int res = 0,mid = x + y >> 1;
6     res = query(k << 1,x,mid,l,r); //遞歸左子樹 
7     res += query(k << 1 | 1,mid + 1,y,l,r); //遞歸右子樹 
8     return res;
9 }

單點修改

　　假設要將a₁加2，那麼咱們要從新計算4個結點的值

　　那麼，在修改時能夠用遞歸的形式修改

　　在遞歸中，可能會有如下幾種狀況

　　　　├ 當前區間不包括需修改區間，直接返回

　　　　├ 找到需修改的葉結點，修改，返回

　　　　└ 有包含，但不是葉結點，遞歸修改左右子樹

 1 void change(int k,int l,int r,int p,int v){
 2     if (l > p || r < p) return; //若該區間不包含需修改點，直接返回 
 3     if (l == r && l == p){ //若當前即爲需修改結點 
 4         sum[l] += v; //修改 
 5         return;
 6     }
 7     int mid = l + r >> 1;
 8     change(k << 1,l,mid,p,v);//遞歸修改左子樹 
 9     change(k << 1 | 1,mid + 1,r,p,v);//遞歸修改右子樹 
10     sum[k] = sum[k << 1] + sum[k << 1 | 1];//維護區間和 
11 }