面試：老師講的遞歸解決斐波那契數列真的好嗎

面試：老師講的遞歸解決斐波那契數列真的好嗎

在搞「模擬面試」的日子，我發現你們廣泛有個問題就是，感受本身的能力老是到了瓶頸期，寫了好幾年代碼，感受只是會的框架比之前多了而已。去大公司面試，屢戰屢敗，問失敗緣由，大多數人的答案都是，在三面數據結構與算法的時候，直接就掛了。

而很多人表示，我數據結構與算法潛心修煉，把書都啃爛了，滾瓜爛熟，但每次一面試，咋就是不會呢？

歸根結底，仍是思惟訓練的問題，不少人知其然而不知其因此然，因此，南塵就儘可能地貼近你們的常態化思惟去幫助你們訓練算法吧。

昨天已經給你們預告了，不知道小夥伴們下來有沒有去本身嘗試處理。但無論怎樣，要想訓練好算法，但聽別人講不去思考，是確定沒用的。好了廢話很少說，進入正題！

來到今天的面試題

面試題：一直青蛙一次能夠跳上 1 級臺階，也能夠跳上 2 級，求該青蛙跳上 n 級的臺階總共有多少種跳法。

題目來源於《劍指 Offer》

一看這道題，好像沒啥思路，感受和咱們的數據結構和經常使用的算法好像一點都不沾邊。

但這看起來就像一道數學題，並且彷佛就是高考數學的倒數第一題，因此咱們就用數學來作吧。

數學中有個方法叫「數學概括法」，咱們這裏就能夠巧妙用到。

1. 當 n = 1 時，青蛙有 1 種跳法；

2. 當 n = 2 時，青蛙能夠選擇一次跳 1 級，跳兩次；也能夠選擇一次跳 2 級；青蛙有 2 種跳法；

3. 當 n = 3 時，青蛙能夠選擇 1-1-1，1-2，2-1，青蛙有 3 種跳法；

4. 當 n = 4 時，青蛙能夠選擇 1-1-1-1，1-1-2，1-2-1，2-1-1，2-2，青蛙有 5 種跳法；

5. 彷佛能獲得 f(3) = f(2) + f(1)，f(4) = f(3) + f(2)，這是 f(n) = f(n-1) + f(n-2) 的節奏？咱們得用 n = 5 驗證一下。

6. 當 n = 5 時，青蛙能夠選擇 1-1-1-1-1，1-1-1-2，1-1-2-1，1-2-1-1，2-1-1-1，1-2-2，2-1-2，2-2-1，青蛙有 8 種跳法，f(5) = f(4) + f(3) 成立。

這是最笨的方法了，得出了這確實就是一個典型的斐波那契數列，惟一不同的地方就是 n =2 的時候並無 f(2) = f(0) + f(1)。

稍微有點思惟能力的可能更簡單。

1. n = 1 ，青蛙有 1 種跳法；

2. n = 2 ，青蛙有 2 種跳法；

3. n = 3，青蛙在第 1 級能夠跳 1 種，後面 2 級至關於 f(3-1) = f(2)，還有一種就是先跳 2 級，而後後面 1 級有 f(3-2) = f(1) 種跳法，能夠得出 f(3) = f(2) + f(1)；

4. ...

5. 當取 n 時，青蛙在第一次跳 1 級，後面的至關於有 f(n-1) 種跳法；假設第一次跳 2 級，後面至關於有 f(n-2) 種跳法；故能夠得出 f(n) = f(n-1) + f(n-2)；

這樣思考可能更不容易出錯吧，這就是思惟的提煉過程，可見咱們高考常考的「數學概括法」是多麼地有用。

既然能分析出這是一道典型的斐波那契數列了，我想教科書都教給你們方法了，不過必定要注意 n = 2 的時候，正常的斐波那契數列值應該是 1，而咱們是 2。大多數人確定會寫出下面的代碼：

public class Test09 {
​
    private static int fn(int n) {
        if (n <= 0)
            return 0;
        if (n == 1)
            return 1;
        if (n == 2)
            return 2;
        else
            return fn(n - 1) + fn(n - 2);
   }
​
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(fn(1));
        System.out.println(fn(2));
        System.out.println(fn(3));
        System.out.println(fn(4));
   }
}

咱們教科書上反覆用這個問題來說解遞歸函數，但並不能說明遞歸的解法是最適合這個題目的。當咱們暗自竊喜完成了這道面試題的時候，或許面試官會告訴咱們，上面的這種遞歸解法存在很嚴重的效率問題，並讓咱們分析其中的緣由。

咱們以求 fn(10) 爲例，要想求得 fn(10)，須要先求得 fn(9) 和 fn(8)；一樣，要求得 fn(9)，須要先求得 fn(8) 和 fn(7)......

這存在一個很大的問題，咱們必定會去重複計算不少值，咱們必定得想辦法把這個計算好的值存放起來。

避免重複計算

既然咱們找到了問題所在，那改進方法天然是信手拈來了。咱們目前的算法是「從大到小」計算，而咱們只須要反向「從小到大」計算就能夠了。咱們根據 fn(1) 和 fn(2) 計算出 fn(3)，再根據 fn(2) 和 fn(3) 計算出 fn(4)......

很容易理解，這樣的算法思路時間複雜度是 O(n)，實現代碼以下：

public class Test09 {
​
    private static long fn(int n) {
        if (n <= 0)
            return 0;
        if (n == 1)
            return 1;
        if (n == 2)
            return 2;
        long prePre = 1, pre = 2;
        long result = 0;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            result = prePre + pre;
            prePre = pre;
            pre = result;
       }
        return result;
   }
​
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(fn(1));
        System.out.println(fn(3));
        System.out.println(fn(50));
        System.out.println(fn(100));
   }
}

上面的代碼，必定要注意作了一點小修改，咱們把返回值悄悄地改爲了 long ，由於咱們並不能保證客戶端是否會輸入一個比較大的數字，好比：100，這樣，若是返回值爲 int，必定會由於超出了最大值而顯示錯誤的，解決方案就是把值換爲更大容量的 long。但有時候你會發現，long 的容量也不夠，畢竟整型和長整型，它都會有最大顯示值，在遇到這樣的狀況的時候。咱們最好和麪試官交流一下，是否處理這樣的狀況。若是必定要處理這樣的狀況，那麼可能你就得用 String 來作顯示處理了。

其實在《劍指 Offer》上還有時間複雜度爲 O(logn) 的解法，但由於不夠實用，咱們這裏也就不講解了，主要仍是咱們解題的算法思路訓練。若是真的很感興趣的話，那就請移步《劍指 Offer》吧。反正你在公衆號後臺回覆「劍指Offer」就能夠拿到 PDF 版本的。

總結

今天的面試講解就到這吧，你們必定要學會本身去獨立思考，訓練本身的思惟。簡單回顧一下咱們本週所學習的內容，咱們下週再見！