經過位運算來解決一些算法題

在刷pat的1073 多選題常見計分法題目時，發現若是須要判斷每個學生對應每道題的多選題是否錯選，漏選，以及選對是比較麻煩的一件事，由於這涉及到兩個集合的判斷，判斷一個集合是不是另外一個集合的子集（即漏選，得一半的分），或者說兩個集合是否徹底相等（即題目得滿分）。

剛開始經過set容器來保存每一道題的正確答案，以及學生選擇的答案，而後比較兩個集合的大小，大小一致則for循環判斷每個元素是否都存在。結果發現這種思路過於複雜，且易超時。

聯想到每個選項是否一致，能夠經過異或運算判斷兩個集合，若是結果爲0則得滿分，不然就是錯選或者漏選，錯選漏選經過或運算來判斷是否可以獲得正確集合，若是能夠則是漏選，若是不能則說明是錯選。

在完整的實現這道題以前，先來學習一下位運算的基礎。

1.常見的位運算

常見的位運算有6個，見以下表格：

Operators	Meaning of operators
&	Bitwise AND，按位與
|	Bitwise OR，按位或
^	Bitwise XOR，按位異或
~	Bitwise complement，按位取反
<<	Shift left，左移
>>	Shift right，右移

1.1按位與

運算舉例，對12和25進行按位與操做：

12 = 00001100 (In Binary)
25 = 00011001 (In Binary)

Bit Operation of 12 and 25
  00001100
& 00011001
  ________
  00001000  = 8 (In decimal)

當且僅當，兩個二進制位都爲1時，結果才爲1

代碼舉例：

#include <stdio.h>
int main()
{
    int a = 12, b = 25;
    printf("Output = %d", a&b);
    return 0;
}

Output:

Output = 8

1.2按位或

運算舉例，對12和25進行按位或操做：

12 = 00001100 (In Binary)
25 = 00011001 (In Binary)

Bitwise OR Operation of 12 and 25
  00001100
| 00011001
  ________
  00011101  = 29 (In decimal)

當且僅當，兩個二進制位都爲0時，結果才爲0，其它狀況都爲1

代碼舉例：

#include <stdio.h>
int main()
{
    int a = 12, b = 25;
    printf("Output = %d", a|b);
    return 0;
}

Output:

Output = 29

1.3按位異或

運算舉例，對12和25進行按位異或操做：

12 = 00001100 (In Binary)
25 = 00011001 (In Binary)

Bitwise XOR Operation of 12 and 25
  00001100
^ 00011001
  ________
  00010101  = 21 (In decimal)

當且僅當，兩個二進制位相異時，結果才爲1，其它狀況都爲0

代碼舉例：

#include <stdio.h>
int main()
{
    int a = 12, b = 25;
    printf("Output = %d", a^b);
    return 0;
}

Output:

Output = 21

對於異或運算的理解

• 找出兩個數有差別的位，a^b獲得的結果中，1表示在該位兩數存在差異，0表示無差異，這個很好理解
• 將一個數按照另外一個數的對應位的取值改變取值，如a^b(10001010^00110011)，能夠當作a按照b的要求改變對應位的取值（1爲改變，0爲不改變）故獲得10111001

1.4按位取反

運算舉例，對35進行按位取反操做：

35 = 00100011 (In Binary)

Bitwise complement Operation of 35
~ 00100011 
  ________
  11011100  = 220 (In decimal)

代碼舉例：

#include <stdio.h>
int main()
{
    printf("Output = %d\n",~35);
    printf("Output = %d\n",~-12);
    return 0;
}

Output:

Output = -36
Output = 11

爲何這裏35按位取反的結果不是220，而是-36。

對於任何整數n，n的按位取反將爲-（n + 1）。要了解這一點，須要瞭解二進制的補碼錶示

十進制          二進制              二進制補碼
   0            00000000           -(11111111+1) = -00000000 = -0(decimal)
   1            00000001           -(11111110+1) = -11111111 = -256(decimal)
   12           00001100           -(11110011+1) = -11110100 = -244(decimal)
   220          11011100           -(00100011+1) = -00100100 = -36(decimal)

35的按位補碼爲220（十進制）。 220的2的補碼是-36。所以，輸出是-36而不是220。

1.5移位運算

1.左移

能夠簡單理解爲*2，對比十進制中的左移，好比10進制的13左移1位獲得130，因此

二進制中的13左移1位獲得26

左移n位，結果就是乘以2的n次方

1101
<<1
11010
十進制爲26

2.右移

類比左移，右移就是除以2

代碼舉例：

#include <stdio.h>
int main()
{
    int num=212, i;
    for (i=0; i<=2; ++i)
        printf("Right shift by %d: %d\n", i, num>>i);
     printf("\n");
     for (i=0; i<=2; ++i) 
        printf("Left shift by %d: %d\n", i, num<<i);    
    
     return 0;
}

Output

Right Shift by 0: 212
Right Shift by 1: 106
Right Shift by 2: 53

Left Shift by 0: 212
Left Shift by 1: 424
Left Shift by 2: 848

2.解題思路

對於每個選項，我均可以經過二進制來表示出來，好比

a--00001
b--00010
c--00100
d--01000
e--10000
//由於選項個數在[2,5]區間，因此最大選項就是e

這樣的話，經過兩個集合（集合A={全部的正確選項的二進制表示的或運算結果}，集合B={全部學生的選項的二進制表示的或運算結果}）

好比

A=10001，即正確的選項爲ae

B=10000，即學生的選項爲e

第一步對A和B進行異或運算，

• 若是結果爲0，說明滿分

• 若是結果不爲0，說明存在選項不一致，可能漏選，可能錯選

第二步對A和B進行或運算，

• 若是結果爲A，說明B就是漏選的，得分50%
• 不然就是有錯選，不得分

第三步對A和B的異或結果和{1,2,4,8,16}集合中的元素分別進行與運算，判斷當前題目，學生選錯的選項是哪個

好比：正確選項是10011，學生的答案是01100，異或結果爲11111，對異或結果11111和1，2，4，8，16分別進行與運算，好比11111&00001結果不爲零，則說明該選項是錯誤的，以此類推，循環進行與運算，得出學生選擇的選項都是錯誤的。正確的選項都沒有選，因此也記爲錯選選項。

經過異或運算和或運算以及與運算來判斷全選對，漏選，錯選以及對應的錯誤選項就簡單多了

3.代碼實現

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int main() {
    //1.保存全部的題目信息
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    //a=00001=1
    //b=00010=2
    //c=00100=4
    //d=01000=8
    //e=10000=16
    int hash[5] = {1,2,4,8,16} , trueopt[m]= {0};

    int fullscore[m];
    //1.記錄每道題的總分到fullscore數組，每道題的正確選項到trueopt
    for(int i=0; i<m; i++) {
        int tmpscore,tmpalloptsize,tmprightoptsize;
        scanf("%d%d%d",&tmpscore,&tmpalloptsize,&tmprightoptsize);
        fullscore[i] = tmpscore;
        for(int j=0; j<tmprightoptsize; j++) {
            char tmpopt;
            scanf(" %c",&tmpopt);
            trueopt[i] +=hash[tmpopt-'a'];
        }
    }
    //記錄每道題每一個選項的出錯次數
    vector<vector<int>> cnt(m,vector<int>(5));
    //2.計算每一個學生的分數，並保存錯誤選項出錯次數到cnt中
    for(int i=0; i<n; i++) {
        double stuscore = 0;
        for(int j=0; j<m; j++) {
            getchar();
            int k;
            scanf("(%d",&k);
            int selectedopt = 0;
            for(int o=0; o<k; o++) {
                char tmpc;
                scanf(" %c",&tmpc);
                selectedopt+=hash[tmpc-'a'];
            }
            scanf(")");
            //計算異或結果
            int result = selectedopt^trueopt[j];
            if(result) {
                //不爲零，有漏選或錯選，進行或運算
                int huo = selectedopt|trueopt[j];
                if(huo == trueopt[j]) {
                    //漏選
                    stuscore += fullscore[j]*1.0/2;
                }
                if(result) {
                    //錯選,不得分，記錄錯誤選項
                    for (int k = 0; k < 5; k++)
                        if (result & hash[k]) cnt[j][k]++;
                }
            } else {
                //滿分
                stuscore += fullscore[j];
            }
        }
        printf("%.1f\n",stuscore);
    }
    //循環遍歷cnt錯誤選項最多的
    int maxcnt =0;
    for(int i=0; i<m; i++) {
        for(int j=0; j<cnt[i].size(); j++) {
            maxcnt = cnt[i][j]>maxcnt?cnt[i][j]:maxcnt;
        }
    }
    if (maxcnt == 0) {
        printf("Too simple\n");
    } else {
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < cnt[i].size(); j++) {
                if (maxcnt == cnt[i][j])
                    printf("%d %d-%c\n", maxcnt, i+1, 'a'+j);
            }
        }
    }
    return 0;
}