正態分佈與中心極限定理

正態分佈

定義

正態分佈（英語：normal distribution）又名高斯分佈（英語：Gaussian distribution），是一個很是常見的連續機率分佈。正態分佈在統計學上十分重要，常常用在天然和社會科學來表明一個不明的隨機變量。

也就是說，正態分佈一種分佈形式，它實際上有不少表示形式，最多見的有機率密度函數，累計分佈函數等等來表示。

在OI界出過的也僅有機率密度函數由於其餘的我沒據說過

機率密度公式

設指望爲$\mu$，方差爲$\sigma$

則有$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e ^ {-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}$

$f(x)$表示該點出現的機率

若是一個隨機變量$X$服從這個分佈，咱們寫做$X \sim N(\mu, \sigma)$

特殊的，若是$\mu = 0, \sigma = 1$，這個分佈被稱爲標準正態分佈

 

中心極限定理

簡介

中心極限定理是機率論中的一組定理。中心極限定理說明，在適當的條件下，大量相互獨立隨機變量的均值經適當標準化後依分佈收斂於正態分佈。這組定理是數理統計學和偏差分析的理論基礎，指出了大量隨機變量之和近似服從正態分佈的條件。

關於中心極限定理，有不少延伸版本，它們大都證實了某一種實驗以某一種正態分佈爲極限，具體也沒啥多大的用處，想學的本身維基吧qwq

推論

中心極限定理有一個很是重要的推論。

如有$N$個獨立同分布的隨機變量$x_1, x_2, \dots, x_n$

指望爲$\mu$，方差爲$\sigma$

那麼設

$$Y_n = \frac{\sum_{i = 1}^n x_i - n\mu}{\sqrt{n \sigma^2}}$$

當$n$足夠大時，咱們認爲$Y_n$服從標準正態分佈

 

這玩意兒有什麼用呢？

好比說咱們要對某個$f(x)$進行積分，它可能會形成很是大的精度偏差

轉成標準正態分佈能夠有效的下降偏差

具體作法是：首先對咱們要積分的區間$(L, R)$進行轉化，再對轉化出來的兩個$Y_n$對應的區間積分

具體示例