我要好offer之 機率題大總結

1. 利用等機率Rand5生成等機率Rand3

Rand5生成等機率Rand3

這個題目能夠擴展爲：利用等機率RandM生成等機率RandN (M > N)

 

這裏，咱們首先明白一個簡單的知識點：若是 randN 能夠等機率生成 [0, N) 之間的數

假設 N = T的整倍數，那麼咱們能夠直接使用 RandN() / (N / T) 來等機率生成 [0, T)之間的數

好比說，Rand21能夠等機率生成[0, 21)之間的數，那麼 Rand21() / 3 就能夠等機率生成 [0, 7)之間的數，即 實現了 Rand7函數

 

// 利用 Rand5 實現 Rand3
int Rand3() {
    int tmp = Rand5();
    while (tmp >= 3) {
        tmp = Rand5();
    }
    return tmp;
}

 

證實：以輸出0爲例，看看機率是多少。

x的第一個有效數值是經過Rand5獲得的。Rand5返回0的機率是1/5，若是這事兒發生了，咱們就獲得了0，不然只有當Rand5返回3或4的時候，咱們纔有機會再次調用它來獲得新的數據。

第二次調用Rand5以後，又是有1/5的機率獲得0，2/5的機率獲得3或4致使循環繼續執行下去，如此反覆。

所以機率的計算公式爲：

 

優化一下：咱們在開始就說明了一個常識，這裏，若是RandM 等機率 生成 RandN 時，當 M 很大 而 N 很小時，這時不少狀況是在while裏循環，可能一直循環

所以，我麼把while循環的邊界調整一下

int RandN() {
    int t = N;  // t是小於M的，N的最大倍數
    while (t + N < M) {
        t = t + N;
    }
    int tmp = RandM();
    while (tmp >= t) {
        tmp = RandM();
    }
    return tmp / (t / N);
}

 

2. 利用等機率Rand3生成等機率Rand5

Rand3生成等機率Rand5

這個題目能夠擴展爲：利用等機率RandM生成等機率RandN (M < N)

這裏，咱們要首先 說明一個知識點：

咱們能夠利用 等機率RandM函數 生成 等機率 Rand(M * M)

好比說：M = 5

step1. Rand5 能夠等機率生成 0, 1, 2, 3, 4 (1/5機率)

step2. 設 上一步Rand5的結果爲t，則 mul = M * t 等機率生成：0，5，10，15，20 (1/5機率)

step3. 再次調用 Rand5 等機率生成 0, 1, 2, 3, 4 ，設結果爲 s (1/5機率)

step4. 將step2 和 step3的兩個結果相加， 就能夠等機率生成 0，1，2...24 (相乘事件，1/25機率)

 

這樣就實現了 Rand25

 

由於這一題中M < N, 而咱們能夠直接利用 RandM 來 等機率生成 Rand(M * M) ，這時 M * M 極可能就大於N了，若是不大於N，那麼再次 翻倍便可

假設 M * M 大於 N，聯想到第一題，相信你們很容易給出第二題的解了

int RandN() {
    int t = N;  // t是小於M×M的，N的最大倍數
    while (t + N < M * M) {
        t = t + N;
    }
    int tmp = RandM() * M + RandM(); // 等機率生成 Rand(M*M)
    while (tmp >= t) {
        tmp = RandM();
    }
    return tmp;
}

 

3. 單次遍歷，等機率隨機選取1個

(未知行數文件的一行文本/未知長度單鏈表的一個結點)

等機率隨機選取1個

問題描述：假設咱們有一堆數據（可能在一個單鏈表裏，也可能在文件裏），數量未知。

要求只遍歷一次這些數據，隨機選取其中的一個元素，任何一個元素被選到的機率相等。

O(n)時間，O(1)輔助空間（n是數據總數，但事先不知道）

 

解題思路：若是元素總數爲n，那麼每一個元素被選到的機率應該是1/n。然而n只有在遍歷結束的時候才能知道，在遍歷的過程當中，n的值還不知道，能夠利用乘法規則來逐漸湊出這個機率值

 

void GetRandomSingleLine(FILE* fp, char* randomLine) {
    srand(time(NULL));
    int i = 1;
    char tmp[MAX_LINE];
    while (fgets(tmp, sizeof(tmp), fp) != NULL) {
        if (rand() % i == 0) {   // rand() % i == 0 的機率爲 1/i
            strcpy(randomLine, tmp);
        }
        ++i;
    }
}

 

當文件行數爲1時，rand() % 1確定爲0，直接輸出

當文件行數爲2時，rand() % 2 等於0 的機率爲 1/2，此時 輸出第一行 和 第二行 的機率均爲 1/ 2

當文件行數爲3時：

輸出第一行的機率是：1 * (1 - 1/2) * (1 - 1/3) = 1/3

輸出第二行的機率是：1 * (1/2) * (1 - 1/3) = 1/3

輸出第三行的機率是：1 - （1/3 + 1/3） = 1/3 (注意：題目要求必須輸出一行)

 

 

 

4. 單次遍歷，等機率隨機選取k個：蓄水池抽樣問題

(未知行數文件的K行文本/未知長度單鏈表的K個結點)

等機率隨機選取k個(蓄水池抽樣)

解題思路：先讀入第 1 ~ k 行保存，之後每次讀入第 i 行，都以 k / i 的機率把剛讀入的一行隨機替換以前保存的 k 行中的一行。

void GetRandomLines(FILE* fp, char** randomLine, int k) {
    srand(time(NULL));

    char tmp[MAX_LINE];
    // 讀入文件第1到k行
    for (int i = 0; i < k; ++i) {
        fgets(randomLine[i], MAX_LINE, fp);
    }

    int i = k + 1;
    while (fgets(tmp, MAX_LINE, fp) != NULL) {
        if (rand() % i < k) {
            // 隨機替換已有的某一行
            int j = rand() % k;
            strcpy(randomLine[j], tmp);
        }
        ++i;
    }
}

  

 

5. 等機率隨機排列數組(隨機洗牌 std::random_shuffle)

隨機洗牌

問題描述：假設有一個數組，包含n個元素。如今要從新排列這些元素，要求每一個元素被放到任何一個位置的機率都相等（即1/n），

而且直接在數組上重排（in place），不要生成新的數組。用O(n) 時間、O(1)輔助空間。

 

解題思路：

先想一想若是能夠開闢另一塊長度爲n的輔助空間時該怎麼處理，顯然只要對n個元素作n次（不放回的）隨機抽取就能夠了。

先從n個元素中任選一個，放入新空間的第一個位置，而後再從剩下的n-1個元素中任選一個，放入第二個位置，依此類推。

 

按照一樣的方法，但此次不開闢新的存儲空間。第一次被選中的元素就要放入這個數組的第一個位置，但這個位置原來已經有別的（也可能就是這個）元素了，這時候只要把原來的元素跟被選中的元素互換一下就能夠了。很容易就避免了輔助空間。

void Random(std::vector<int>& num) {
    srand(time(NULL));
    for (int i = num.size() - 1; i >= 0; --i) {
        int pos = rand() % (i + 1);
        std::swap(num.at(i), num.at(pos));
    }
}

 

6. 利用不均勻硬幣產生等機率

利用不均勻硬幣產生等機率

問題描述：有一枚不均勻的硬幣，已知拋出此硬幣後，正面向上的機率爲p（0 < p < 1）。請利用這枚硬幣產生出機率相等的兩個事件

某一次拋出硬幣，正面向上的機率是p，反面向上的機率是1 - p，當p不等於0.5時，這兩個事件的機率就不同了。

怎麼能湊出等機率呢？仍是要利用機率的加法和乘法法則。這裏用乘法，也就是連續的獨立事件。

連續拋兩次硬幣，正反面的出現有四種狀況，機率依次爲：

兩次均爲正面：p * p 第一次正面，第二次反面：p * (1 - p) 第一次反面，第二次正面：(1 - p) * p 兩次均爲反面：(1 - p) * (1 - p)

中間兩種狀況的機率是徹底同樣的。因而問題的解法就是連續拋兩次硬幣，若是兩次獲得的相同則從新拋兩次；

不然根據第一次（或第二次）的正面反面狀況，就能夠獲得兩個機率相等的事件

 

擴展：

這一題實質就是 利用不均勻機率事件 生成 [0,1]之間的隨機數

如何利用 不均勻機率事件 生活[0,n)之間的隨機數呢？(即0，1，2... n-1這n個數)

咱們每一輪都是連續拋n次硬幣

每一輪中 正面出現次數爲i，則反面出現次數爲 n-i，相應機率爲 C(n, i) * (Pⁱ) * (1-p)^(n-i)

當i=1或者n-1時，上述機率分別爲 n*p*(1-p)^(n-1) 和 n*p^(n-1)*(1-p)

注意到上面2個機率的係數都是n，咱們如今須要隨機生成n個數，咱們就能夠將這兩點聯繫起來

例如i=1，對應n種狀況，咱們將這n種狀況對應編號 n個數

對於每一輪中正面出現次數不是1的時候，就從新再拋一輪