深度閱讀：大學生必需要搞懂的數據結構，15張圖來了解【樹】

樹的概念

什麼是樹？

樹屬於非線性數據結構的一種，概念也極多，是由結點或頂點和邊組成的且不存在着任何環的一種數據結構。

沒有結點的樹稱爲空樹。一棵非空的樹包括一個根結點，還極可能有多個附加結點，而且全部結點構成一個多級分層結構。

樹的定義

n個節點組成的有限集合。n=0，空樹；n>0,1個根節點，m個互不相交的有限集，每一個子集爲根的子樹，如圖所示爲一顆樹：

樹

樹的基本術語

• 節點的度：樹中某個節點的子樹的個數。

• 樹的度：樹中各節點的度的最大值。

• 分支節點：度不爲零的節點。

• 葉子節點：度爲零的節點。

• 路徑：i->j；

• 路徑長度：路徑通過節點數目減1。

• 孩子節點：某節點的後繼節點；

• 雙親節點：該節點爲其孩子節點的雙親節點（父母節點）；

• 兄弟節點：同一雙親的孩子節點；

• 子孫節點：某節點全部子樹中的節點；

• 祖先節點：從樹節點到該節點的路徑上的節點；

• 節點的層次：根節點爲第一層，以此類推；

• 樹的高度：樹中節點的最大層次；

• 有序樹：樹中節點子樹按次序從左向右安排，次序不能改變；

• 無序樹：與有序樹相反；

• 森林：互不相交的樹的集合。

樹的性質

1. 樹的節點樹爲全部節點度數加1（加根節點）。

2. 度爲m的樹中第i層最多有m^(i-1)個節點。

3. 高度爲h的m次樹至多(m^h-1)/(m-1)個節點。

4. 具備n個節點的m次樹的最小高度爲logm( n(m-1) + 1 )向上取整。

二叉樹

二叉樹簡介

二叉樹是n(n>=0)個結點的有限集合，每個結點中最多擁有一個左結點和一個右結點，而且沒有多餘的結點，如圖所示：

二叉樹

二叉樹的特色

根據二叉樹的定義以及圖示分析得出二叉樹有如下特色：

1. 每一個結點最多有兩顆子樹，不存在度大於2的結點。

2. 左子樹和右子樹的次序不能任意顛倒。

3. 即便樹中某結點只有一棵子樹，也要區分它是左子樹仍是右子樹。

二叉樹的性質

二叉樹具備如下幾種特徵

1. 二叉樹第i層上的結點數目最多爲2{i-1} (i≥1)。

2. 深度爲k的二叉樹至多有(2{k}-1)(k≥1)個結點。

3. 包含n個結點的二叉樹的高度至少爲log2 (n+1)。

4. 在任意一棵二叉樹中，若終端結點的個數爲n0，度爲2的結點數爲n2，則n0=n2+1。

幾種特殊的二叉樹

斜樹

全部的結點都只有左(右)子樹的二叉樹叫左(右)斜樹，統稱爲斜樹，如圖所示：

斜樹

滿二叉樹

在一棵二叉樹中，若是全部分支結點都存在左子樹和右子樹，而且全部葉子都在同一層上，這樣的二叉樹稱爲滿二叉樹，其有如下特色

1. 葉子只能出如今最下一層，不然就不可能達成平衡。

2. 非葉子結點的度必定是2。

3. 在一樣深度的二叉樹中，滿二叉樹的結點個數最多，葉子數最多。

滿二叉樹

徹底二叉樹

一棵深度爲k的有n個結點的二叉樹，對樹中的結點按從上至下、從左到右的順序進行編號，若是編號爲i（1≤i≤n）的結點與滿二叉樹中編號爲i的結點在二叉樹中的位置相同，則這棵二叉樹稱爲徹底二叉樹。

徹底二叉樹

二叉樹的存儲

簡介

以建立一顆二叉樹，並實現經過特定的插入順序和讀取順序達成讀取爲順序爲例子進行簡介。

結點設計

一顆二叉樹的結點設計必定要有以下內容：

• 結點元素，data域，用來存儲數據；

• 左孩子結點，left指針，用來指向當前結點的下一層的左邊結點；

• 右孩子結點，right指針，用來指向當前結點的下一層的右邊結點；

除此以外，咱們使用一棵樹的時候須要創建一顆樹根，由這個根，來進行逐步的向下構建，其代碼以下：

樹的建立

首先建立一個空的結點進行鏈接，將這個空的結點中的date域賦予數據，再判斷tree中是不是一個空樹，若是爲空，只須要將整個根指向這一個結點便可，若是不爲空，再進行兩個判斷，判斷輸入的數據是否大於或者小於當前比對的結點數據，根據其大小進行相應的排列，這樣存儲進入的數據老是有必定規律的，在輸出的時候根據這個規律進行輸出便可，其代碼能夠顯示爲：

遍歷，顯示樹

代碼以下：

樹的遍歷之先序遍歷二叉樹

遍歷簡介

遍歷是按照必定的規則性，將數據結構中的全部數據所有依次訪問，而二叉樹須要經過在各節點與其孩子之間約定某種局部次序，間接地定義某種全局次序。

• 先序遍歷：根左右

先序遍歷：

先序遍歷就是在訪問二叉樹的結點的時候採用，先根，再左，再右的方式，對於一個最簡單的訪問而言以下圖，先序遍歷的訪問順序就是A，B，C

多個結點相互嵌套構成的二叉樹如圖所示，在訪問遍歷一開始的時候，先訪問根結點A，次訪問左節點B，因爲左結點中嵌套了一組結點，所以左節點又做爲下一個結點的根結點。

繼續沿着B訪問到了D，一樣因爲D中包含了一組新的結點，D又做爲根節點繼續訪問，就又訪問到了E，因爲E沒有後面的結點了，做爲D爲根的左結點E訪問結束後，訪問到F，這一組訪問結束以後再回退訪問G，那麼這一個二叉樹的先序遍歷訪問順序就是：ABDEFGCH

代碼實現

擴展->前綴表達式

咱們平常的運算表達式一般是以下形式，這種成爲中綴表達式，也就是運算符在運算數的中間，如圖，爲常規表達式：(a+b)*c

其二叉樹的表現形式爲：

而前綴表達式的表達方式就是 *+cab ，它的一個特徵就是符號遷移，常規的表達式是須要大量的括號表達前後順序的，而這樣的表達式表達形式不須要，更容易讓計算機處理。

咱們常規的表達式的計算是中序的，而計算機更方便對前綴表達式這樣的方式進行理解，進行這樣的轉換首先思路要進行轉換。

在代碼中咱們實現這樣的轉換通常能夠利用棧，熟練書些這樣的轉換就須要STL的掌握。

樹的遍歷之中序遍歷二叉樹

簡介

• 中序遍歷：左根右

以下圖，就一個最簡單的二叉樹遍歷而言，中序遍歷的遍歷訪問過程是先B再A再C。

多個結點構成的如圖所示，進行第一次訪問的時候，咱們在ABC中進行遍歷，由左根右的順序，咱們遍歷訪問到B，B同時又做爲BDG的根結點，所以須要繼續向下進行遍歷。

此時咱們遍歷到DEF，這時E屬於這一組之中的左結點，所以咱們根據根左右的前後順序獲得了最早的遍歷效果，EDF。

這EDF同時做爲BDG中的左節點（把EDF看做一個總體）進行回溯，此時的訪問的結點順序爲EDFBG。

同理EDFBG做爲ABC的左結點根據左根右的順序EDFBGAC，左半部分訪問完畢接着訪問右半部分，咱們將^CH（^表示空）看做一組左中右，而C就是由EDFBGAC組合而成，所以最終的遍歷順序爲：EDFBGACH

代碼實現

中綴表達式（常規算式）

中綴表達式是一個通用的算術或邏輯公式表示方法。中綴表達式就是咱們最經常使用的表達式形式，也是人最容易理解的表達式形式。

如圖，爲常規表達式：(a+b)*c

其二叉樹的表現形式爲：

由前文可知前綴表達式的表達方式就是 *+cab ，咱們常規的表達式的計算是中序的，其表達式就是(a+b)*c。

咱們能夠理解爲將表達式利用二叉樹化，而後經過中序遍歷的方式進行提取，若是須要發生組合時，須要咱們藉助括號的形式表示優先級，這樣也有一個弊端，就是當多個嵌套的時候須要的括號較多。

樹的遍歷以後序遍歷二叉樹

簡介

• 後序遍歷：左右根

後序遍歷就是在訪問二叉樹的結點的時候採用，先左，再右，再根的方式，對於一個最簡單的訪問而言如圖，先訪問左節點B，以後訪問右結點C，最後訪問根節點A，後序遍歷的訪問順序就是BCA

多個結點相互嵌套構成的二叉樹以下圖所示，在訪問遍歷一開始的時候，先訪問左節點B再訪問右結點C最後訪問A；

因爲B結點其中也包含了新的結點，在面對處理的結點後還存在有與之相聯的結點的時候，須要優先處理其的子結點，這也是「遞歸」的基本思路；

所以，因爲B屬於DG的根結點，相較於B，應該先訪問D結點，而又因爲D結點屬於EF的根結點，就又變成先訪問E結點，E屬於最末端了，根據後序遍歷左右根的訪問順序，依次生成EFDGB做爲一個總體；

接着咱們須要訪問C，因爲C又是^HC之中的根結點，咱們先訪問這個空結點，又由於其是一個空的結點，咱們會跳過，就變成了HC的訪問順序；

最後在彙總的時候EFDGB做爲左節點，HC做爲右結點，A做爲根結點，完成咱們最終的遍歷順序EFDGBHCA。

代碼實現

後綴表達式

後綴表達式與前綴表達式不一樣，前綴表達式採用先序遍歷的方式遍歷訪問咱們的公式順序，常規式則就是中序方式，然後綴表達式採用後續遍歷的方式進行訪問。

如圖，爲常規表達式：(a+b)*c

其二叉樹的表現形式爲：

然後綴表達式的表達方式就是ab+c* ，相較於前綴表達式，後綴表達式則就是將符號進行後移，其在計算機中的讀取運算概念也符合棧的思路，所以沒有什麼特殊的不一樣。