LeetCode進階4-分而治之

概念

在計算機科學中，分治法是建基於多項分支遞歸的一種很重要的算法範式。字面上的解釋是「分而治之」，就是把一個複雜的問題分紅兩個或更多的相同或類似的子問題，直到最後子問題能夠簡單的直接求解，原問題的解即子問題的解的合併。

原題

4. Median of Two Sorted Arrays （Hard)

There are two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively.

Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

You may assume nums1 and nums2 cannot be both empty.

Example 1:

nums1 = [1, 3] nums2 = [2]

The median is 2.0 Example 2:

nums1 = [1, 2] nums2 = [3, 4]

The median is (2 + 3)/2 = 2.5

4. 兩個有序數組的中位數 (困難）

給定兩個大小爲 m 和 n 的有序數組 nums1 和 nums2。

請你找出這兩個有序數組的中位數，而且要求算法的時間複雜度爲 O(log(m + n))。

你能夠假設 nums1 和 nums2 不會同時爲空。

示例 1:

nums1 = [1, 3] nums2 = [2]

則中位數是 2.0 示例 2:

nums1 = [1, 2] nums2 = [3, 4]

則中位數是 (2 + 3)/2 = 2.5

• 本題在LeetCode上在分而治之分類下

題意分析

根據題目要求，兩個有序數組尋找中位數，天然能夠聯想到最簡單的有序數組合並。可是合併有序數組尋找中位數顯然算法複雜度會超過題目要求的O(log(m + n)),不過根據題目的複雜度要求O(log(m + n))又能明顯的想到題解思路必然跟分而治之算法思想相關，由於只有分治法思想的算法複雜度才能達到log級別。

思路設計

因爲本題是求中位數，題解必然屬於分治，可採用二分法。若要找出兩個數組全部數中的第k個數，能夠採用淘汰法，每次取兩個數組中的前k/2個數，比較兩個數組中第k/2個數得出較小的那一個，能夠淘汰掉較小數所在數組的k/2以前的全部數，接着獲得兩個新數組遞歸循環淘汰 最後直到累計找到第k個數。 舉例說明，假設有兩個數組m、n長度分別爲五、10。因爲是尋找中位數，所以數組之和len=5+10=15爲奇數，中位數正好是第8個數即k爲8。

一、k = 8, k/2 = 4，淘汰4位;

第一次將A和B分別取前k/2 = 4個數，如上圖所示，因爲B數組中第4位數4小於A數組中第4位數11，所以淘汰B數組的前4位，同時得出新數組繼續比較。因爲此時總數已經捨棄4個得出新k爲8-4=4。

二、k = 4，k/2 = 2，再淘汰2位;

第二次將A和B分別取前k/2 = 2個數，如上圖所示，因爲A數組中第2位數4小於B數組中第2位數6，所以淘汰A數組的前2位，同時得出新數組繼續比較。因爲此時總數已經捨棄2個得出新k爲4-2=2。

三、k= 2, k/2 = 1，再淘汰1位;

第三次將A和B分別取前k/2 = 1個數，如上圖所示，因爲A數組中第1位數5等於B數組中第1位數5，所以仍淘汰A數組的前1位，此時k爲1結束二分，而且此時總數已經捨棄1個得出新k位2-1=1。

四、k=1時，到達第8位，結束循環

最後一次由於尋找的數字爲第8位，故只需對比新數組A、B的第一位得出較小的數便可。因爲數組B第1位數5小於數組A第1位數，所以5即是最終兩個數組的中位數。

特殊狀況

• 若數組和爲偶數，則必然有兩個中位數，分別是第k個數和第k+1個數（k和k+1位表示在總數組中的相對順序）。
• 若A、B數組中若較短的數組A長度小於k/2時,爲避免數組越界，直接淘汰A數組,下一輪新的k的值則變成k-A.length。

僞代碼

1、求兩數組中位數（findMedianSortedArrays方法）
   1、根據nums1數組長度len1和nums2數組長度len2獲得中位數k；
   2、i.若兩數組總長爲奇數，此時只有一箇中位整數，直接調用方法二返回兩數組的第k位數；
     ii.若兩數組總長爲偶數，此時有兩個中位整數，分別是第k和第k+1位，調用方法二傳入k、k+1計算2箇中位整數平均值得出中位數；
   
2、根據數組，起始位置，k值，求兩有序數組的第k位整數（numberK方法）
   1、根據兩數組的起始位置和長度得出當前數組的有效長度len一、len2；
   2、保證有效長度小的數組在前面；
   3、特殊狀況處理，當len1爲0即第一個有效數組爲空時，直接返回第2個數組的第k位整數（相對起始位置）；
   4、特殊狀況處理，當兩數組均只有1個元素時直接返回較小的的整數；
   5、根據起始位置、數組長度、k值分別計算兩個數組相對起始位置的第k個數的下標。注意當數組長度小於k時，特殊處理將下標移到數組最後一位；
   6、對比兩數組第k個數的大小：
     i.若第2個數組的第k個數較小，則移動第2個數組指針，相對於起始位置k位，至關於淘汰第2個數組的k個數，繼續遞歸調用；
     ii.反之若第1個數組的第k個數較小，則移動第1個數指針，相對於起始位置k位，至關於淘汰第1個數組的k個數，繼續遞歸調用；
     
複製代碼

編碼實踐

public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
		int len1 = nums1.length;
		int len2 = nums2.length;
		int k = (len1 + len2 + 1) / 2;
		if (((len1 + len2) & 1) == 1) {
			return numberK(nums1, 0, nums2, 0, k);
		} else {
			return (numberK(nums1, 0, nums2, 0, k) + numberK(nums1, 0, nums2, 0, k + 1)) * 0.5;
		}
	}

	private int numberK(int[] n1, int start1, int[] n2, int start2, int k) {
		int len1 = n1.length - start1;
		int len2 = n2.length - start2;
		if (len1 > len2) {
			return numberK(n2, start2, n1, start1, k);
		}
		if (len1 == 0) {
			return n2[start2 + k - 1];
		}
		if (k == 1) {
			return Math.min(n1[start1], n2[start2]);
		}
		int end1 = start1 + Math.min(len1, k / 2) - 1;
		int end2 = start2 + Math.min(len2, k / 2) - 1;
		if (n1[end1] > n2[end2]) {
			return numberK(n1, start1, n2, end2 + 1, k - (end2 - start2 + 1));
		} else {
			return numberK(n1, end1 + 1, n2, start2, k - (end1 - start1 + 1));
		}
	}
複製代碼

##結語 本題在屬於分而治之思想的經典，分治法思想中的二分法類型，在leetcode上屬於困難題型，主要考察分治法思路設計以及算法複雜度的優化。最後，若是以爲本文對你有所幫助或啓發那就來個贊吧0.0～～

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