Leetcode-分治

50. Pow(x, n)

實現 pow(x, n) ，即計算 x 的 n 次冪函數。

示例 1:

輸入: 2.00000, 10
輸出: 1024.00000

示例 2:

輸入: 2.10000, 3
輸出: 9.26100

示例 3:

輸入: 2.00000, -2
輸出: 0.25000
解釋: 2-2 = 1/22 = 1/4 = 0.25

說明:

-100.0 < x < 100.0
n 是 32 位有符號整數，其數值範圍是 [−231, 231 − 1] 。

題目難度: Midium

思路1: 二分 + 遞歸

首先看到題目，最直觀的想法就是一次遍歷，每次都乘上x。時間複雜度爲$O(n)$, 空間複雜度爲$O(1)$.
$f(n)=f(n-1)*x$

一般而言，最暴力的方法不會是效率最高的方法， 這題也不例外。好比

$$\begin{align}2^4=2^2*2^2 \\ 2^5=2^3*2^2\end{align}$$

咱們其實並不須要計算$2^1$一直到$2^n$. 所以能夠獲得一個更高效的計算公式
$$x^n=\begin{cases} x^{\frac{n+1}{2}}*x^{\frac{n-1}{2}}, if(n\%2!=0)\\ x^{\frac{n}{2}}*x^{\frac{n}{2}}, if(n\%2==0)\end{cases}$$

def myPow(x -> float, n -> int) -> float:
    if n == 0:
        return 1
    
    flag = 1 if n > 0 else -1
    n = abs(n)
    
    def helper(x, n):
        if n == 0:
            return 1
        
        # 若是是奇數
        if n % 2:
            res = helper(x, (n-1) // 2)
            return res * res * x
            
        # 若是是偶數
        res = helper(x, n // 2)
        return res * res
        
    return helper(x, n) if flag > 0 else 1. / helper(x, n)

時間複雜度: $O(log(n))$, 空間複雜度：$O(log(n))$.

思路2
二分 + 迭代

def myPow(x -> float, n -> int) -> float:
    if n == 0:
        return 1
    
    flag = 1 if n > 0 else -1
    n = abs(n)
    
    res = 1.
    ans = x
    while n > 0:
        if n % 2:
            res *= ans
            
        ans *= ans
        n //= 2
        
        
    return res if flag > 0 else 1. / res

時間複雜度爲$O(log(n))$, 空間複雜度爲$O(1)$

相比於第二種思路， 我的以爲第一種思路更容易理解， 但須要額外的空間複雜度。 方法二， 想了好久仍是不能徹底理解。

53. 最大子序和

給定一個整數數組 nums ，找到一個具備最大和的連續子數組（子數組最少包含一個元素），返回其最大和。

示例:

輸入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
輸出: 6
解釋: 連續子數組 [4,-1,2,1] 的和最大，爲 6。
進階:

若是你已經實現複雜度爲 O(n) 的解法，嘗試使用更爲精妙的分治法求解。

這道題是一個比較典型的動態規劃問題， 既然是動態規劃問題， 那就須要明確選擇和狀態

狀態： $f(n)$表示以nums[n-1]結束的最大子序列和.

選擇： 是否選擇元素做爲最大和的連續子數組的元素。

狀態轉移方程：

$$ f(n) =\begin{cases} f(n-1) + nums[n-1], &if (f(n-1) + nums[n-1]>nums[n-1])\\ nums[n-1],&else\end{cases} $$

通俗一點來理解就是，若是當前的元素不能使最大子序和變大，則將已有的子序列捨棄。

基於狀態轉移方程， 能夠寫出以下代碼

def maxSubArray(nums):
    if not nums:
        return 
    n = len(nums)
    
    b = nums[0]
    res = b
    for i in range(1, n):
        b = max(b+nums[i], nums[i])
        res = max(res, b)
        
    return res

思路2

分治法

最大子序和能夠有3種狀況

1. 最大子序和出如今數組的左半部分
2. 最子子序和出如今數組的右半部分
3. 最大子序和跨越數組的左半部分和右半部分

最後的最大值爲左半部分的最大值， 右半部分的最大值， 跨越左半部分和右半部分的最大值之間的最大值

def maxSubArray(nums):
    if not nums:
        return
    
    n = len(nums)
    
    if n == 1:
        return nums[0]
    
    # 左半部分的最大值
    max_left = maxSubArray(nums[:n//2])
    
    # 右半部分的最大值
    max_right = maxSubArray(nums[n//2:])
    
    # 計算中間的最大子序和
    
    # 從右到左計算左邊的最大子序和
    max_l = nums[len(nums) // 2 - 1]
    tmp = 0
    for i in range(len(nums) // 2 - 1, -1, -1):
        tmp += nums[i]
        max_l = max(tmp, max_l)
        
        
    # 從左到右計算右邊的最大子序和
    max_r = nums[len(nums) // 2]
    tmp = 0
    for i in range(len(nums) // 2, len(nums)):
        tmp += nums[i]
        max_r = max(tmp, max_r)
        
    #返回三個中的最大值
    return max(max_right,max_left,max_l+max_r)

時間複雜度爲$nlog(n)$, 空間複雜度爲$O(log(n))$

169. 多數元素

給定一個大小爲 n 的數組，找到其中的多數元素。多數元素是指在數組中出現次數大於 ⌊ n/2 ⌋ 的元素。

你能夠假設數組是非空的，而且給定的數組老是存在多數元素。

示例 1:

輸入: [3,2,3]
輸出: 3

示例 2:

輸入: [2,2,1,1,1,2,2]
輸出: 2

最簡單， 最直接的想法就是排序， 去最中間的數便可， 對應的複雜度就是排序的複雜度。時間複雜度爲$O(nlog(n))$, 空間複雜度爲$log(n)$

思路1
分治

根據題目對衆數的定義， 若是將數組劃分爲左右兩部分，那麼數組的衆數必然是其中一個部分的衆數。

def majorityElement(nums):
    if not nums:
        return 
    
    
    def helper(low, high):
        if low == high:
            return nums[low]
        mid = (low + high) // 2
        
        
        left = helper(low, mid)
        
        right = helper(mid, high)
        
        if left == right:
            return left
        
        # 統計左半部分的衆數出現次數
        cnt_left = sum([1 for i in range(low, high+1) if nums[i] == left])
        
        # 統計右半部分的衆數出現次數
        cnt_right = sum([1 for i in range(low, high+1) if nums[i] == right])
        
        #
        return left if cnt_left > cnt_right else riht
    
    return helper(0, len(nums)-1)

時間複雜度爲$O(nlog(n))$, 空間複雜度爲$O(log(n))$

思路2

投票

維護一個衆數得分， 只有噹噹前衆數的得分等於0時， 修改衆數

def majorityElement(nums):
    if not nums:
        return 
        
    score = 1
    candidate = nums[0]
    for n in nums[1:]:
        if score == 0:
           candidate = n
        
        if n == candidate:
            score += 1
        else:
            score -= 1
            
    return candidate

時間複雜度爲$O(n)$, 空間複雜度爲$O(1)$