算法淺談——遞歸算法與海盜分金問題

本文始發於我的公衆號：TechFlow

最近看到一道頗有意思的問題，分享給你們。

仍是老規矩，在咱們聊算法問題以前，先來看一個故事。

傳說中，有5個海盜組成了一支無敵的海盜艦隊，他們在最後一次的尋寶當中找尋到了100枚價值連城的金幣。因而，很天然的，這羣海盜面臨分贓的問題。爲了防止海盜內訌，殘忍的海盜們制定了一個奇怪的規則:

他們決定按照功勞大小對五我的進行編號，由編號小的海盜先提出分配方案。若是方案可以獲得大多數人的贊成，那麼就按照他提出的方案進行分配。若是不能經過，說明他已經失去了威望，海盜們會殘忍地將他投入海中喂鯊魚。

在一個朦朧的早上你一覺醒來，忽然發現本身成了一號海盜，那麼你應該如何分配才能得到最多的金幣，又不會被喂鯊魚呢？

在咱們思考以前，咱們先完善一下題意，增長几個條件。

首先，每個海盜都很是殘忍。這意味着，在不影響收益的狀況下，他們會更傾向於殺人。

其次，每個海盜都極其聰明，都能想到最佳答案。

這兩個條件一出來，問題就比較明顯了，這是博弈論題目纔有的架勢。

既然這是一道博弈論的問題，那麼咱們經過常規的思路是沒法找到答案的，咱們須要另闢蹊徑才行。

那麼，怎麼另闢蹊徑呢？

一個比較常規的作法是先不考慮原問題，先假設一個和原問題差很少，可是規模小不少的子問題。經過對子問題的求解來摸索原問題的解法。

舉個例子，在這題當中，咱們須要計算5個海盜分金幣的狀況。一時之間咱們有些無從下手，那麼咱們簡化問題，問題的規則仍是不變，可是咱們把海盜的數量減小，減小到只有一個海盜。那麼根據規則，很顯然，最後的結果是這個海盜獨吞全部的金幣。

這個時候的分配方案是：[0, 0, 0, 0, 100]

咱們從這個點開始往回倒推，假設這個時候多了一個海盜，一共是4號和5號兩個海盜的時候，會怎麼樣？

顯然由於要求要一半以上贊成提案，提案才能夠經過。因此在這個時候，不管4號海盜如何提議，5號都不會贊成，要將他投下海喂鯊魚。因此若是隻剩下4和5的時候，4號海盜必死無疑。

這個時候的分配方案是： [0, 0, 0, -1, 100]，-1表示必死無疑。

那若是再加一個海盜呢？

再加一個海盜的話，是3，4，5三個海盜的狀況。由於只剩4和5的時候4號必死，因此他爲了活命必定會贊成3號的提案（海盜對其餘人殘忍，對本身不殘忍）。這個時候，3號不論如何提議，都必定能夠經過。由於算上他本身的一票，和4號的一票，已通過半了，因此他的提案必定能夠經過。

這個時候的分配方案是： [0, 0, 100, 0, 0]

咱們再加入一個海盜，考慮一共剩下4個海盜的狀況。若是2號死去，那麼3號能夠獨吞全部金幣，因此顯然3號必定不會贊成2號的方案。4我的的時候，至少須要3我的贊成才能夠經過方案，那麼2號必需要爭取4號和5號。若是2號死去，4號和5號一無全部，因此2號只須要分配給4號和5號一枚金幣，就能夠拉攏他們。

這個時候的分配方案是： [0, 98, 0, 1, 1]

最後，咱們再加入1號海盜。同理，1號海盜的提案須要至少3我的經過。算上他本身，他還須要爭取2票。因爲1號死去2號能夠得到98枚金幣，因此1號必定沒法爭取2號，仍是隻能從3，4，5三我的下手。能夠給3號1枚，4號兩枚（比2號的方案多一枚），也能夠給3號1沒，5號兩枚。

這個時候的分配方案是： [97, 0, 1, 2, 0] 或者是 [97, 0, 1, 0, 2]。

到這裏，這個問題就結束了。可是咱們的思考並無結束，不知道你們從剛纔的解法當中有沒有看出規律。咱們面臨5個海盜這種錯綜複雜狀況的時候根本無從下手，可是一旦當咱們試着將問題的規模縮小，從簡單的狀況開始思考，那麼問題一會兒就豁然開朗了。

老子說：天下大事，必做於細，天下難事，必做於易。從這個問題來看，和這個道理相得益彰。

這種從最簡單推導最複雜的算法就稱爲遞歸。

假設，獲取n個海盜分配方案的函數是f。當咱們計算f(2)時，咱們須要根據f(1)的結果。咱們試着寫成僞代碼：

def f(n):
  if n == 1:
    return [0, 0, 0, 0, 100]
  else:
    allocation = f(n-1)
    # 新的分配
    new_allocation = allocate(allocation)
    return new_allocation

咱們先忽略allocate這個方法內部是怎麼實現的，單純看這段代碼，整個框架已經有了。

遞歸的精髓也就在這裏，程序本身調用本身只是表象，內裏的精髓實際上是問題的分割。整個遞歸從上到下的過程，其實是一個大問題化解成小問題的過程。若是還不明白，咱們再來看一個經典的例子來鞏固一下，這個問題就是大名鼎鼎的漢諾塔問題：

在印度神話當中有一個大神叫作梵天，他在創造世界的時候創造了三根金剛柱。爲了排解無聊，他在其中一根柱子上擺放了64個圓盤。這64個圓盤從上往下依次增大，他給僧侶出了一個問題。一次只能移動一個圓盤，而且圓盤只能放在比它大的圓盤上，該怎麼作才能將圓盤從一根柱子移動到另外一根呢？

爲了簡化問題，咱們先觀察擺放5個圓盤的狀況。從圖中能夠看出來，一開始的時候圓盤都在A柱，若是咱們想要將圓盤移動到B柱應該怎麼辦呢？

咱們一樣先來觀察最簡單的狀況: A柱上只有一個圓盤，那很簡單，咱們直接將它移動到B柱便可。若是有兩個圓盤呢？咱們須要先將第一個移動到C柱，而後將第二個移動到B柱，最後再將C柱上的圓盤移動到B。那若是是三個圓盤呢，稍微複雜一些，但仔細列舉一下，也能算得出來。

可是咱們怎麼經過問題規模的縮小來化簡問題呢？

這須要咱們對於題目進行深刻思考，找到其中的關鍵點。這題的關鍵點就是圓盤的限制，大的圓盤不能落在小的圓盤上面。因此若是咱們想要將n個圓盤從A柱移動到B柱，必需要將前n-1個圓盤先移動到C柱，這樣才能夠將最大的那塊放到B，如此以後再將n-1塊移動回B。

也就是說，咱們將n-1塊圓盤當作是一個總體，這樣n塊圓盤的方案就和兩塊圓盤時同樣了。這就經過遞歸完成了簡化。

最後，也是最關鍵的，怎麼移動n-1塊圓盤呢？其實很簡單，咱們套用一樣的方法，再將這n-1塊圓盤中的n-2塊當作是總體，遞歸操做。理解了以後，不妨試着寫出代碼，其實只有幾行：

def hanoi_tower(num, tower_start, tower_dest, tower_other):
  if num == 1:
    print('move plate {} from {} to {}'.format(num, tower_start, tower_dest))
    return 
  hanoi_tower(num-1, tower_start, tower_other, tower_dest)
  print('move plate {} from {} to {}'.format(num, tower_start, tower_dest))
  hanoi_tower(num-1, tower_other, tower_dest, tower_start)

咱們調用一下這個方法，進行一下測試：

結果和咱們的預期一致，說明咱們的算法是正確的。

最後，咱們再回到海盜問題，又該怎麼用代碼實現呢？感興趣的同窗不妨親自動手試試，若是實在寫不出代碼，在公衆號回覆關鍵詞」海盜分金「查看我寫的代碼。

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