Gabor學習筆記

本文根據博客http://blog.csdn.net/watkinsong/article/details/7870996 ，博客http://www.cnblogs.com/yingying0907/archive/2012/11/22/2781945.html整理。

 

1.傅里葉變換

1) 簡介

數字圖像處理的方法主要分紅兩大部分：空域分析法和頻域分析法。空域分析法就是對圖像矩陣進行處理；頻域分析法是經過圖像變換將圖像從空域變換到頻域，從另一個角度來分析圖像的特徵並進行處理。頻域分析法在圖像加強、圖像復原、圖像編碼壓縮及特徵編碼壓縮方面有着普遍應用。

若是一個信號f(t)在上知足：

① f(t)在任一有限區間上知足狄氏條件；

② f(t)在上絕對可積即

就能夠經過傅里葉變換把時域信號f(t)轉化到頻域進行處理：

而後再經過傅里葉反變換把頻域信號轉化到時域：

傅里葉變換是線性系統分析的有力工具，提供了一種把時域信號轉換到頻域進行分析的途徑，時域和頻域之間是一對一的映射關係。圖像的頻率是表徵圖像中灰度變化劇烈程度的指標，是灰度在平面空間上的梯度。如：大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區域，對應的頻率值很低；而對 於地表屬性變換劇烈的邊緣區域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區域，對應的頻率值較高。

傅立葉變換在實際中有很是明顯的物理意義，設f是一個能量有限的模擬信號，則其傅立葉變換就表示f的 譜。從純粹的數學意義上看，傅立葉變換是將一個函數轉換爲一系列周期函數來處理的。從物理效果看，傅立葉變換是將圖像從空間域轉換到頻率域，其逆變換是將 圖像從頻率域轉換到空間域。換句話說，傅立葉變換的物理意義是將圖像的灰度分佈函數變換爲圖像的頻率分佈函數，傅立葉逆變換是將圖像的頻率分佈函數變換爲 灰度分佈函數。

2) 不足之處

經典Fourier變換隻能反映信號的總體特性（時域，頻域）。對傅里葉譜中的某一頻率，沒法知道這個頻率是在何時產生的。從傅里葉變換的定義也可看出，傅里葉變換是信號在整個時域內的積分，所以反映的是信號頻率的統計特性，沒有局部化分析信號的功能。另外，要求信號知足平穩條件。傅里葉變換時域和頻域是徹底分割開來的。

l 由式可知，要用Fourier變換研究時域信號頻譜特性，必需要得到時域中的所有信息；

l 信號在某時刻的一個小的鄰域內發生變化，那麼信號的整個頻譜都要受到影響，而頻譜的變化從根本上來講沒法標定發生變化的時間位置和發生變化的劇烈程度。也就是說，Fourier變換對信號的齊性不敏感。不能給出在各個局部時間範圍內部頻譜上的譜信息描述。然而在實際應用中齊性正是咱們所關心的信號局部範圍內的特性。如，音樂，語言信號等。即：局部化時間分析，圖形邊緣檢，地震勘探反射波的位置等信息極重要。

l 爲解決傅里葉變換的侷限性，產生了Gabor變換和小波變換。

2.Gabor變換

Gabor變換是D.Gabor 1946年提出的。爲了由信號的Fourier變換提取局部信息，引入了時間局部化的窗函數，獲得了窗口Fourier變換。因爲窗口Fourier變換隻依賴於部分時間的信號，因此，如今窗口Fourier變換又稱爲短時Fourier變換，這個變換又稱爲Gabor變換。

1) Gabor優勢

Gabor小波與人類視覺系統中簡單細胞的視覺刺激響應很是類似。它在提取目標的局部空間和頻率域信息方面具備良好的特性。雖然Gabor小波自己並不能構成正交基，但在特定參數下可構成緊框架。Gabor小波對於圖像的邊緣敏感，可以提供良好的方向選擇和尺度選擇特性，並且對於光照變化不敏感,可以提供對光照變化良好的適應性。上述特色使Gabor小波被普遍應用於視覺信息理解。

Gabor濾波器和脊椎動物視覺皮層感覺野響應的比較：第一行表明脊椎動物的視覺皮層感覺野，第二行是Gabor濾波器，第三行是二者的殘差。可見二者相差極小。Gabor濾波器的這一性質，使得其在視覺領域中常常被用來做圖像的預處理。

2) Gabor定義

① 具體窗函數――Gaussaion的 Gabor變換定義式

Gabor變換的基本思想：把信號劃分紅許多小的時間間隔，用傅里葉變換分析每個時間間隔，以便肯定信號在該時間間隔存在的頻率。其處理方法是對f(t)加一個滑動窗，再做傅里葉變換。

設函數f爲具體的函數，且，則Gabor變換定義爲

其中，，是高斯函數，稱爲窗函數。其中a>0,b>0.

是一個時間局部化的「窗函數」。其中，參數b用於平行移動窗口，以便於覆蓋整個時域。對參數b積分，則有

信號的重構表達式爲

Gabor取g(t)爲一個高斯函數有兩個緣由：一是高斯函數的Fourier變換仍爲高斯函數，這使得Fourier逆變換也是用窗函數局部化，同時體現了頻域的局部化；二是Gabor變換是最優的窗口Fourier變換。其意義在於Gabor變換出現以後，纔有了真正意義上的時間－頻率分析。即Gabor變換能夠達到時頻局部化的目的：它可以在總體上提供信號的所有信息而又能提供在任一局部時間內信號變化劇烈程度的信息。簡言之，能夠同時提供時域和頻域局部化的信息。

 

② 窗口的寬高關係

經理論推導能夠得出：高斯窗函數條件下的窗口寬度與高度，且積爲一固定值。

矩形時間――頻率窗：寬爲，高。

由此，能夠看出Gabor變換的侷限性：時間頻率的寬度對全部頻率是固定不變的。實際要求是：窗口的大小應隨頻率而變化，頻率高窗口應愈小，這才符合實際問題中的高頻信號的分辨率應比低頻信號的分辨率要低。

3) 離散Gabor變換的通常求法

① 首先選取核函數

可根據實際須要選取適當的核函數。如，如高斯窗函數；

則其對偶函數爲

② 離散Gabor變換的表達式

其中，

是的對偶函數，兩者之間有以下雙正交關係。

4) Gabor變換的解析理論

Gabor變換的解析理論就是由g(t)求對偶函數的方法。

定義g(t)的Zak變換爲

能夠證實對偶函數可由下式求出：

有了對偶函數可使計算更爲簡潔方便。

5) 適用條件

① 臨界採樣Gabor展開要求條件：TΩ=2π；

② 過採樣展開要求條件：TΩ≤2π；

當TΩ＞2π時，欠採樣Gabor展開，已證實會致使數值上的不穩定。

6) 應用

① 暫態信號檢測

若是對信號波形有必定的先驗知識且能夠據此選取合適的基函數，能夠用Gabor變換對信號做精確的檢測統計計量。

② 圖象分析與壓縮

二維Gabor變換能夠應用到圖象分析與壓縮中。

3. 二維Gabor濾波器

用Gabor 函數造成的二維Gabor 濾波器具備在空間域和頻率域同時取得最優局部化的特性，所以可以很好地描述對應於空間頻率(尺度)、空間位置及方向選擇性的局部結構信息。Gabor濾波器的頻率和方向表示接近人類視覺系統對於頻率和方向的表示，而且它們常備用於紋理表示和描述。在圖像處理領域，Gabor濾波器是一個用於邊緣檢測的線性濾波器。，在空域，一個2維的Gabor濾波器是一個正弦平面波和高斯核函數的乘積。Gabor濾波器是自類似的，也就是說，全部Gabor濾波器均可以從一個母小波通過膨脹和旋轉產生。實際應用中，Gabor濾波器能夠在頻域的不一樣尺度，不一樣方向上提取相關特徵。

 

1)定義

空域來看：是高斯核函數調製正弦平面波

s(x,y)是複雜的正弦函數，至關於載波；w(x,y)是2維高斯函數包跡。

（u0,v0）定義了正弦平面波的時域頻率，在極座標中可用f和Θ來表示。

a,b 爲x和y方向的橢圓高斯的方差

K=1/ab 爲高斯包跡的參數

r 爲角度旋轉的下標

Θ爲旋轉角度

（x0,y0）爲函數峯值，也是接受域的中心

f(x,y) f(x',y')

Gabor濾波器的傅里葉變換：峯值響應在復正弦的空域頻率(u0,v0)

Gabor濾波器示意圖，3種角度5種方向：

2) 分析

生成2維Gabor濾波器的matlab 代碼：

http://blog.sina.com.cn/s/blog_80853788010103wx.html

http://blog.csdn.net/weixingstudio/article/details/7872764

Opencv實現：

http://www.cppblog.com/polly-yang/archive/2012/07/14/183327.aspx