Python小白的數學建模課-05.0-1規劃

時間  2021-07-23
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0-1 規劃不只是數模競賽中的常見題型，也具備重要的現實意義。html

雙十一促銷中網購平臺要求二選一，就是互斥的決策問題，能夠用 0-1規劃建模。python

小白學習 0-1 規劃，首先要學會識別 0-1規劃，學習將問題轉化爲數學模型。算法

『Python小白的數學建模課 @ Youcans』帶你從數模小白成爲國賽達人。編程


1. 什麼是 0-1 規劃？

0-1 整數規劃是一類特殊的整數規劃，變量的取值只能是 0 或 1。app

0-1 變量能夠描述開關、取捨、有無等邏輯關係、順序關係，能夠處理揹包問題、指派問題、選址問題 、計劃安排、線路設計 、人員安排等各類決策規劃問題。進而，任何整數均可以用二進制表達，整數變量就能夠表示爲多個 0-1 變量的組合，所以任何整數規劃均可以轉化爲 0-1 規劃問題來處理。0-1 規劃問題與運籌學中的不少經典問題也都有緊密聯繫。框架

在數學建模學習中，0-1 規劃主要用於求解互斥的決策問題、互斥的約束條件問題、固定費用問題和分派問題。0-1 規劃是數模競賽的常見題型，國賽 B題常常有 0-1規劃問題或能夠轉化爲 0-1 規劃問題。函數

0-1 規劃的算法都比較複雜，大規模問題通常沒有精確解法。本文仍然使用 PuLP 工具包求解 0-1 規劃問題，該工具包的使用比較簡單。建議本文讀者重點關注 0-1 規劃問題的分類及建模方法，把握哪些問題是 0-1 規劃問題，是哪一類的 0-1 規劃問題，如何對這些典型問題進行建模。在此基礎上，才能調用 PuLP 函數進行求解。工具


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2. 0-1 規劃的分類及建模方法

規劃問題的數學模型包括決策變量、約束條件和目標函數，圍繞這三個要素均可能存在互斥的狀況，從而導出不一樣類型的0-1規劃問題，其建模方法也有差異。優化

2.1 互斥的決策問題

互斥的決策問題，是指決策方案、計劃互斥，如決定投資項目、肯定投資場所、選擇投產產品等。

例如，雙十一的促銷活動，淘寶、京東、拼多多要求店鋪二選一，最多隻能選擇參加一家平臺，不然可能會被封殺，這是典型的互斥決策問題。

揹包問題就是經典的互斥決策問題。給定一組 n 個物品，每種物品 i 的價值爲 v_i、重量/體積爲 w_i，揹包所能容納的總重量/總容量爲（B），如何選擇其中若干種物品（每種物品選 0 個或 1 個），使得物品的總價值最高？

揹包問題的建模方法以下：

定義決策變量爲：

\[x_i = \begin{cases} 0，不選擇第\;i\;個物品\\ 1，選擇第\;i\;個物品 \end{cases} \]

定義目標函數爲：

\[max\;f(x) = \sum_{i=1}^n v_i x_i\\ s.t.:\begin{cases} \sum_{i=i}^n w_i x_i \leq B, \\ x_i = 0,1 \end{cases} \]

不少應用問題均可以用上述的揹包問題數學模型來表達，例如：

  • 有 n個項目，每一個項目所需投資額爲 w_i，投產後的利潤爲 v_i，投資總限額爲 B，求利潤最大的投資方案；
  • 處理器能力有限，任務不少，如何選擇使處理器的效用最大；

2.2 互斥的約束問題

互斥的約束問題，是指具備多個互斥的約束條件，這些約束條件只有一個起做用。

例如，貨物運輸有車運或者船運兩種運輸方式可供選擇，已知採用車運的約束條件和船運的約束條件，必須且只能選擇其中一種運輸方式。這兩個約束條件互斥，有且只有一個起做用，這是能夠引入一個 0-1變量來處理。

通常地，設有 m 個互斥的約束條件：

\[a_{i1}x_1 + ...a_{in}x_n \leq b_i，i=1,...m \]

該類問題的建模方法，爲了保證只有一個約束條件起做用，能夠引入一個充分大的常數 M 和 m 個 0-1 變量表示約束是否起做用：

\[y_i = \begin{cases} 0，第 i 個約束不起做用\\ 1，第 i 個約束起做用 \end{cases} \]

因而能夠構造新的 m+1 個約束條件：

\[s.t.:\begin{cases} a_{i1}x_1 + ...a_{in}x_n \leq b_i + (1-y_i)M，i=1,...m\\ y_1 + ... + y_m = 1\\ y_i = 0,1 \end{cases} \]

因爲 M 足夠大，新的約束條件就能保證只有 y_i=1 的約束條件起做用，而其它約束條件都不起做用。


2.3 固定費用問題（Fixed cost problem）

固定費用問題，是指求解生產成本最小問題時，總成本包括固定成本和變更成本，而選擇不一樣生產方式會有不一樣的固定成本，所以總成本與選擇的生產方式有關。

固定費用問題，其實是互斥的目標函數問題，對於不一樣的生產方式具備多個互斥的目標函數，但只有一個起做用。固定費用問題不能用通常的線性規劃模型求解。

通常地，設有 m 種生產方式可供選擇，採用第 j 種方式時的固定成本爲 K_j、變更成本爲 c_j、產量爲 x_j，則採用各類生產方式的總成本分別爲：

\[min\;P_j = \begin{cases} k_j + c_j x_j，&x_j \geq 0\\ 0，&x_j = 0, j=1,...m \end{cases} \]

該類問題的建模方法，爲了構造統一的目標函數，能夠引入 m 個 0-1 變量 y_j 表示是否採用第 j 種生產方式：

\[y_j = \begin{cases} 0，不採用第\;j\;種生產方式\\ 1，採用第\;j\; 種生產方式 \end{cases} \]

因而能夠構造新的目標函數和約束條件：

\[min\;f(x) = \sum_{j=1} ^m (k_j y_j + c_j x_j)\\ s.t.:\;x_j \leq y_j M，j=1,...m \]

M 是一個充分大的常數。


2.4 指派問題

分配 n 我的去作 n 件工做，每人只作一件工做，每件工做只有一我的作，已知每一個人作每件事的用時爲c_ij，如何安排才能使花費的總時間最少。

引入 0-1 變量 x_ij：

\[x_{i,j} = \begin{cases} 0，第\;i\;人不作第\;j\;件工做\\ 1，第\;i\;人作第\;j\;件工做，i,j=1,...,n \end{cases} \]

指派問題的數學模型就能夠描述爲：

\[min\;f(x) = \sum_{i=1} ^n \sum_{j=1} ^n (c_{ij} x_{ij})\\ s.t.:\;\begin{cases} \sum_{j=1} ^n x_{ij} = 1，i=1,...,n\\ \sum_{i=1} ^n x_{ij} = 1，j=1,...,n\\ x_{ij} = 0,1，i,j=1,...,n \end{cases} \]

在此基礎上，還能夠衍生出新的問題：

  • 分配 m 我的去作 n 件工做，已知每一個人作每件事的用時，當 m<n（不限定每人工做的件數）、m>n（不限定每件工做的參與人數）時，如何安排使花費的總時間最少。
  • 分配 m 我的去作 n 件工做，已知每一個人作每件事的用時，若是容許某人完成本身的工做後去幫助別人，如何安排使花費的總時間最少。

3. 0-1 規劃的求解方法

目前 0-1 規劃問題並無通用、高效、精確的求解方法，經常使用的方法或是針對特殊問題，或是近似方法。

須要特別指出的是，咱們在數學建模的學習中會遇到愈來愈多的問題都沒有通用、高效、精確的求解方法，而是藉助於計算機算法和程序來獲得近似解。

3.1 隱枚舉法（Implicit enumeration）

求解 0-1 規劃問題的思路，首先是窮舉法，遍歷決策變量的全部的組合，求出目標函數的最優值。隨着問題規模的增大，變量的組合成指數增加，窮舉法就不可能實現了。

隱枚舉法是經過反覆構造過濾條件，不斷刪除比當前解差的解集，並把優於當前最優解的結果做爲新的最優解，再以新的最優解構造新的過濾條件，如此反覆直到求出最優解。

隱枚舉法經過過濾條件對窮舉法進行改進，能夠較快地求出最優解。分支定界法也是一種隱枚舉法。

3.2 蒙特卡洛法（Monte Carlo）

既然對較大規模問題沒法窮舉，沒法得到數學意義上的最優解，那麼另外一個思路就是隨機搜索。因而大名鼎鼎、無所不能的蒙特卡洛法出場了。

蒙特卡洛法是一類隨機方法的統稱，也稱隨機取樣法。顧名思義，蒙特卡洛法就是大量地對決策變量隨機取值——若是能在知足約束條件的前提下隨機取值就更好了，經過比較其目標函數值來不斷得到更好的解，最後就能獲得近似的最優解。

蒙特卡洛法的特色是，能夠在隨機採樣上計算獲得近似結果，採樣越多，越近似最優解 ，但沒法保證獲得的結果是否是全局最優解。能夠證實，在必定的計算量的狀況下，蒙特卡洛法能夠得到較好的滿意解。

蒙特卡洛法的思想很簡單，看起來算法也很簡單，但實際上也涉及了深入的數學理論，算法理論與實踐也都在不斷的發展。

蒙特卡洛法不只能夠處理幾乎全部的決策問題、優化問題，並且在各類學科領域都獲得了普遍的應用。這樣的方法咱們固然不能錯過，後文將專題進行討論。

3.3 啓發式算法（Heuristic algorithms）

設計高效的啓發式算法解決實際問題，是解決 0-1 規劃問題的另外一個思路。

啓發式算法一般是以問題爲導向的，沒有一個通用的框架，根據具體問題的特殊結構來識別啓發性信息，構造啓發式優化過程來高效地尋找近似最優解。

啓發式算法得到的近似最優解，一般是局部最優解。並且，啓發式算法的解須要藉助其餘方法來評估其質量，而且在實際應用中不能保證爲各類算例穩定地生成接近全局最優的可行解。

3.4 近似算法（Approximation algorithms）

原本不想在這裏談近似算法的，只是爲了說明啓發式算法並非近似算法。

近似算法與啓發式算法是不一樣的，近似算法每每經過巧妙的設計，獲得的解是在全局最優解的某個鄰域範圍以內，或必定比例範圍內。近似算法的解能夠用嚴格的數學證實是「比較好」的，於是被認爲是有保證的。

3.5 0-1 規劃問題的編程方案

總結 0-1 規劃的求解方法，就是沒有通用、高效、精確的求解方法。

對於小白來講，其實這樣更簡單，不要操心學習哪一種算法了，咱們仍是用 PuLP 工具包來求解。


4. PuLP 求解 0-1 規劃問題

不只繼續用 PuLP 工具包，並且解題過程和編程步驟也與求解線性規劃問題徹底一致。

下面咱們以一個簡單的數學模型練習，來說解整個解題過程，而不只給出例程。

4.1 案例問題描述

例題 1：
公司有 5 個項目被列入投資計劃，各項目的投資額和預期投資收益以下表所示（萬元）：

項目 A B C D E
投資額 210 300 100 130 260
投資收益 150 210 60 80 180

公司只有 600萬元資金可用於投資，綜合考慮各方面因素，須要保證：

（1）項目 A、B、C 中必須且只能有一項被選中；
（2）項目 C、D 中最多隻能選中一項；
（3）選擇項目 E 的前提是項目 A被選中。

如何在上述條件下，進行投資決策，使收益最大。


4.2 建模過程分析

定義決策變量爲：

\[x_i = \begin{cases} 0，不選擇第\;i\;個項目\\ 1，選擇第\;i\;個項目 \end{cases} \]

定義目標函數爲：

\[max\;f(x) = 150x_1+210x_2+60x_3+80x_4+180x_5\\ s.t.:\begin{cases} 210x_1+300x_2+100x_3+130x_4+260x_5 \leq 600\\ x_1 + x_2 + x_3 = 1\\ x_3 + x_4 \leq 1\\ x_5 \leq x_1\\ x_i = 0,1，i=1,...5 \end{cases} \]


4.3 模型求解的編程

模型求解，用標準模型的優化算法對模型求解，獲得優化結果。模型求解的編程步驟以下：

（0）導入 PuLP庫函數

import pulp

（1）定義一個規劃問題

InvestLP = pulp.LpProblem("Invest decision problem", sense=pulp.LpMaximize)

pulp.LpProblem 用來定義問題的構造函數。"InvestLP"是用戶定義的問題名。
參數 sense 指定問題求目標函數的最小值/最大值 。本例求最大值，選擇 「pulp.LpMaximize」 。

（2）定義決策變量
對於問題 1：

x1 = pulp.LpVariable('A', cat='Binary')  # 定義 x1，A 項目
    x2 = pulp.LpVariable('B', cat='Binary')  # 定義 x2，B 項目
    x3 = pulp.LpVariable('C', cat='Binary')  # 定義 x3，C 項目
    x4 = pulp.LpVariable('D', cat='Binary')  # 定義 x4，D 項目
    x5 = pulp.LpVariable('E', cat='Binary')  # 定義 x5，E 項目

pulp.LpVariable 用來定義決策變量的函數。'x1'~'x5' 是用戶定義的變量名。
參數 cat 用來設定變量類型，' Binary ' 表示0/1變量（用於0/1規劃問題）。

（3）添加目標函數

InvestLP += (150*x1 + 210*x2 + 60*x3 + 80*x4 + 180*x5)  # 設置目標函數 f(x)

（4）添加約束條件

InvestLP += (210*x1 + 300*x2 + 100*x3 + 130*x4 + 260*x5 <= 600)  # 不等式約束
    InvestLP += (x1 + x2 + x3 == 1)  # 等式約束
    InvestLP += (x3 + x4 <= 1)  # 不等式約束
    InvestLP += (x5 - x1 <= 0)  # 不等式約束

　　添加約束條件使用 "問題名 += 約束條件表達式" 格式。
　　約束條件能夠是等式約束或不等式約束，不等式約束能夠是 小於等於 或 大於等於，分別使用關鍵字">="、"<="和"=="。

（5）求解

InvestLP.solve()
    print(InvestLP.name)  # 輸出求解狀態
    print("Status youcans:", pulp.LpStatus[InvestLP.status])  # 輸出求解狀態
    for v in InvestLP.variables():
        print(v.name, "=", v.varValue)  # 輸出每一個變量的最優值
    print("Max f(x) =", pulp.value(InvestLP.objective))  # 輸出最優解的目標函數值

solve() 是求解函數，能夠對求解器、求解精度進行設置。


4.4 Python 例程

# mathmodel06_v1.py
# Demo05 of mathematical modeling algorithm
# Solving 0-1 binary programming with PuLP.
# Copyright 2021 Youcans, XUPT
# Crated：2021-06-02
# Python小白的數學建模課 @ Youcans

import pulp      # 導入 pulp 庫

# 主程序
def main():
    # 投資決策問題：
    # 公司現有 5個擬投資項目，根據投資額、投資收益和限制條件，問如何決策使收益最大。
    """
    問題建模：
        決策變量：
            x1～x5：0/1 變量，1 表示選擇第 i 個項目， 0 表示不選擇第 i 個項目
        目標函數：
            max fx = 150*x1 + 210*x2 + 60*x3 + 80*x4 + 180*x5
        約束條件：
            210*x1 + 300*x2 + 100*x3 + 130*x4 + 260*x5 <= 600
            x1 + x2 + x3 = 1
            x3 + x4 <= 1
            x5 <= x1
            x1,...,x5 = 0, 1
    """
    InvestLP = pulp.LpProblem("Invest decision problem", sense=pulp.LpMaximize)  # 定義問題，求最大值
    x1 = pulp.LpVariable('A', cat='Binary')  # 定義 x1，A 項目
    x2 = pulp.LpVariable('B', cat='Binary')  # 定義 x2，B 項目
    x3 = pulp.LpVariable('C', cat='Binary')  # 定義 x3，C 項目
    x4 = pulp.LpVariable('D', cat='Binary')  # 定義 x4，D 項目
    x5 = pulp.LpVariable('E', cat='Binary')  # 定義 x5，E 項目
    InvestLP += (150*x1 + 210*x2 + 60*x3 + 80*x4 + 180*x5)  # 設置目標函數 f(x)
    InvestLP += (210*x1 + 300*x2 + 100*x3 + 130*x4 + 260*x5 <= 600)  # 不等式約束
    InvestLP += (x1 + x2 + x3 == 1)  # 等式約束
    InvestLP += (x3 + x4 <= 1)  # 不等式約束
    InvestLP += (x5 - x1 <= 0)  # 不等式約束
    InvestLP.solve()  # youcans
    print(InvestLP.name)  # 輸出求解狀態
    print("Status youcans:", pulp.LpStatus[InvestLP.status])  # 輸出求解狀態
    for v in InvestLP.variables():
        print(v.name, "=", v.varValue)  # 輸出每一個變量的最優值
    print("Max f(x) =", pulp.value(InvestLP.objective))  # 輸出最優解的目標函數值

    return

if __name__ == '__main__':  # Copyright 2021 YouCans, XUPT
    main()  # Python小白的數學建模課 @ Youcans

4.5 Python 例程運行結果

Welcome to the CBC MILP Solver 
Version: 2.9.0 
Build Date: Feb 12 2015 

Result - Optimal solution found

Invest_decision_problem
Status youcans: Optimal
A = 1.0
B = 0.0
C = 0.0
D = 1.0
E = 1.0
Max f(x) = 410.0

從 0-1 規劃模型的結果可知，選擇 A、C、E 項目進行投資，能夠知足限定條件並得到最大收益 410萬元。


5. 小結

  1. 對於小白學數模，能識別哪些問題是 0-1 規劃問題，是哪一種 0-1規劃問題，才能將問題描述轉化爲數學模型的表達形式。這是數模學習中最重要的內容。
  2. 至於模型的求解，對於算法能瞭解一些最好，不求甚解也不要緊，先學會用工具包解決問題就能夠了。
  3. 從線性規劃、整數規劃到本文的 0-1 規劃，咱們都選擇了 PuLP 工具包。雖然這些問題的類型不一樣，求解算法差異很是大，可是 PuLp 工具包使用了一致的處理步驟：定義問題、定義變量、定義目標函數和約束條件，調用求解器求解。
  4. 因此咱們在求解不一樣問題時的編程方法和步驟一模一樣，徹底感覺不到不一樣類型問題之間的巨大差別。這就是爲何在線性規劃問題時不選擇 Scipy 的緣由，這就是本系列課程的特色，讓小白能快速入門求解問題。
  5. 對於更爲複雜的問題，PuLP 還提供了快捷方式，能夠結合 Python語言的循環和容器，使用字典來建立問題，咱們下節再講。

【本節完】


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