Pack

揹包專題

揹包吼哇！

基礎的揹包分爲OI01揹包,徹底揹包，多重揹包，二維揹包，分組揹包，樹形揹包，求方案數等..........

做爲DP的一個基礎部分仍是有必要寫一寫的。

01揹包：

一個物品能取1次。

設f[i][j]表示i物品j體積的最大權值，則狀態轉移方程：

f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - c[i]] + v[i]);

優化掉物品那一維：

for i 1...n

　　for j V...c[i]

　　　　f[j] = max(f[j], f[j - c[i]] + v[i]);

徹底揹包：

物品能取任意屢次。

狀態同上。

for i 1...n

　　for j c[i]...V

　　　　f[j] = max(f[j], f[j - c[i]] + v[i]);

多重揹包：

一個物品可取若干次。

處理方法：

• 拆成01揹包(過水)
• 二進制拆分(不會)
• 單調隊列優化(上課講了，沒聽懂...)

分組揹包：

物品被分紅若干組，每組只能選擇至多1個。

狀態：f[i][j]表示i組j體積的最大權值。

循環 + 狀態轉移方程：

for i 1...g

　　for j V...g[i].min_c

　　　　for k g[i].s...g[i].t

　　　　　　if(j >= c[k])

　　　　　　　　f[j] = max(f[j], f[j - c[k]] + v[k]);

二維揹包：

費用限制爲二維。

此時咱們只須要把狀態加一維便可解決。

for i 1...n

　　for jA VA...cA[i]

　　　　for jB VB...cB[i]

　　　　　　f[jA][jB] = max(f[jA][jB], f[jA - cA[i]][jB - cB[i]] + v[i]);

可行性徹底揹包：

能夠用bitset解決

樹形揹包：

本質是分組揹包。把子節點的不一樣體積看作組內不一樣物品。

例題：洛谷P2014 選課

 1 #include <cstdio>
 2 #include <algorithm>
 3 
 4 const int N = 310;
 5 
 6 struct Edge {
 7     int nex, v;
 8 }edge[N]; int top;
 9 
10 int e[N], v[N], f[N][N], n, m, root;
11 
12 inline void add(int x, int y) {
13     top++;
14     edge[top].v = y;
15     edge[top].nex = e[x];
16     e[x] = top;
17     return;
18 }
19 
20 void DFS(int x) {
21     for(int i = e[x]; i; i = edge[i].nex) {
22         int y = edge[i].v;
23         DFS(y);
24         // cal
25         for(int j = m; j >= 1; j--) { // 0 1 pack
26             for(int k = 0; k <= j; k++) {
27                 f[x][j] = std::max(f[x][j], f[x][j - k] + f[y][k]);
28             }
29         }
30     }
31     if(x != root) {
32         for(int i = m; i >= 1; i--) {
33             f[x][i] = f[x][i - 1] + v[x];
34         }
35     }
36     return;
37 }
38 
39 int main() {
40     scanf("%d%d", &n, &m);
41     root = n + 1;
42     for(int i = 1, x; i <= n; i++) {
43         scanf("%d%d", &x, &v[i]);
44         add(x ? x : root, i);
45     }
46     DFS(root);
47     printf("%d", f[root][m]);
48     return 0;
49 }

AC代碼

注意要倒序循環V的理由是這是01揹包，一個物品只能取一次。