算法導論——單元最短路徑

時間 2019-12-05

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　　單源最短路徑問題是指，給定一個圖G=(V,E)，但願找到從給定源結點s到每一個節點v的最短路徑。單源最短路徑問題能夠用來解決不少最短路徑的變體。算法

單目的地最短路徑問題：找到從每一個結點v到給定目的地結點t的最短路徑。將圖的每條邊翻轉，這個問題能夠轉換爲單源最短路徑問題。函數

單結點對最短路徑問題：找到從給定結點u到給定結點v的最短路徑。若是已經解決了u的單元最短路徑問題，則該問題已經解決。優化

　　在單源最短路徑問題中，根據圖的性質不一樣有不一樣的解決方案。主要的性質有：是有向圖仍是無向圖，是權重圖仍是單位圖，有無負權重的邊，是否有環。spa

Dijkstra算法

　　Dijkstra算法解決的是非負權重有向圖上的單源最短路徑問題。算法邏輯爲維持一個結點集合S，集合中每一個結點之間的最短路徑已經被找到，重複從集合V-S中選擇與源結點r之間最短路徑估計最小的結點u加入到S，而後對全部從u出發的邊檢查r到u的距離加上該邊的距離是否小於該邊另外一個結點本來的最短路徑估計。code

如圖(a)初始狀態，s是源結點，加入到集合S中blog

(b)檢查s出發的路徑(s,t)和(s,y)更新y和t的最短路徑估計排序

(c)在剩下結點中選擇最短路徑估計最小的結點y，而後檢查從y出發的路徑(y,t)+(s,y)=8<10，更新t的距離爲8，一樣對x和z也進行一樣的操做，結束後y加入到S中隊列

(d)接下來選擇z結點，(z,s)+7=14>s，因此s保持不變，而(z,x)+6=13<14，x的值更新爲13，而後將z加入到S中。it

(e)-(f)的操做同上，再也不作詳細描述。最終全部點都加入到了S中。io

爲了完成算法，咱們須要存儲每一個結點的最短路徑估計和他們的前驅結點來輸出最終路徑，同時須要一個最小優先隊列來保存V-S中結點的最短路徑估計排序，不然須要遍歷V-S中的結點來選擇出最短的那個。直接遍歷全部邊的算法複雜度爲O(V^2)，若使用最小二叉堆來存儲優先隊列則複雜度能夠下降爲O((V+E)lgV)。

 1 #include<stdio.h>
 2 using namespace std;
 3 #define SIZE 10
 4 #define INFI 10000
 5 
 6 int G[SIZE][SIZE];//鄰接矩陣，參數初始化略
 7 int dist[SIZE];//與根間的距離估計
 8 bool visit[SIZE];//是否被訪問過
 9 
10 void dijkstra(int root){
11     int i,j;
12     int min;
13     for(i = 0; i < SIZE; i++){
14         dist[i] = INFI;
15         visit[i] = false;
16     }
17     dist[root] = 0;
18     for(i = 0; i <SIZE; i++){
19         min = 0;//尋找剩餘點中距離根最近的點
20         for(j = 1; j < SIZE;j++){
21             if(!visit[j] && dist[j] < dist[min]){
22                 min = j;
23             }
24         }
25         for(j = 0; j < SIZE; j++){
26             if(!visit[j] && G[min][j] + dist[min] < dist[j])
27                 dist[j] = G[min][j] + dist[min];//檢查是否須要更新最短路徑
28         }
29         visit[min] = true;
30     }
31 }

Bellman-Ford算法

　　該算法能夠解決負權重邊的圖，算法返回一個布爾值，代表是否存在一個從源節點能夠到達的權重爲負的環路，若存在則算法將告訴咱們不存在解決方案，由於這個環路的存在會致使出現距離爲負無窮的點。

　　算法須要進行|V|-1次循環，每次循環按照一樣的順序對全部邊進行鬆弛，結束後檢查是否存在權重爲負的環路。算法複雜度爲O(VE)，所以該算法在處理密集圖時效率會下降，整體效率不如dijkstra算法。

如圖所示每一次鬆弛邊的順序都是(t,x) (t,y) (t,z) (y,x) (y,z) (z,x) (z,s) (s,t) (s,y)。源結點爲s，加了陰影的邊表示前驅路徑。

(a) 更新源結點的距離爲0

(b) 按照順序，僅(s,t) (s,y)能夠更新結點的值，t=6 y=7

(d) (x,t)能夠更新t的值

(e) 本次循環沒有能夠更新的值，檢查不存在權值爲負的環返回TRUE

 1 #include<stdio.h>
 2 using namespace std;
 3 #define SIZE 10
 4 #define INFI 10000
 5 
 6 int G[SIZE][SIZE];//鄰接矩陣，參數初始化略
 7 int dist[SIZE];//與根間的距離估計
 8 int p[SIZE];//前驅結點
 9 
10 void bellmanFord(int root){
11     int i, j, k;
12     for(i = 0; i < SIZE; i++){
13         dist[i] = INFI;
14     }
15     dist[root] = 0;
16     for(i = 0; i < SIZE - 1; i++){
17         for(j = 0; j < SIZE; j++){
18             if(dist[j] == INFI)
19                 continue;//結點沒法從源結點到達則先跳過
20             for(k = 0; k < SIZE; k++){
21                 if(G[j][k] != 0 && G[j][k] + dist[j] < dist[k])
22                     dist[k] = G[j][k] + dist[j];//鬆弛路徑
23             }
24         }
25     }
26     for(i = 0; i < SIZE; i++){
27         for(j = 0; j < SIZE; j++){
28             if(G[i][j] != 0 && dist[i] > dist[j] + G[i][j])
29                 return false;//檢查有無權重爲負的環
30         }
31     }
32 }