[KM算法]uoj#80 二分圖最大權匹配

題意：給定二分圖，有邊權，求最大邊權匹配。邊權非負。

解：KM算法求解最大權完備匹配。

完備匹配就是點數少的那一邊每一個點都有匹配。

爲了讓完備匹配與最大權匹配等價，咱們添加若干條0邊使之成爲徹底二分圖(自造名詞別在乎......)

爲了讓左邊成爲點數較少的一邊，咱們還要添加一些虛點，m = max(n,m)

而後求解完備匹配。

KM的DFS寫法會被卡成n⁴，若是你不在乎能夠寫......反正在uoj上會被卡爆。

模板就不放了，反正沒啥用，放了還我 誤 我 自 己。

過程就是一次爲每一個點尋找匹配。首先每一個點都有個頂標(指望匹配值)，最後要使得每一條匹配邊(x, y)知足w[x] + w[y] = val(x, y)

而後每一個右邊的點還有個need數組，通常是叫作slack，就是鬆弛量，也就是當前這個點最少要把w減去多少才能匹配上。

還有個D是min slack，也就是全局最少減小D才能獲得匹配。

匹配的時候跟匈牙利同樣DFS，注意到一個點以後若是w[x] + w[y] = val(x, y)則這條邊可用，打上vis，不然用差值更新need y

若是沒有匹配就update一遍，每一個有vis的左邊減去D，右邊加上D。而後繼續直到有匹配爲止。

BFS寫法

這個我不太懂...話說DFS原本就不懂了，還糾結這個幹啥。

右邊節點有個pre數組表示它是誰更新來的，也就是若是它進入增廣路，那麼它前面的右邊節點是pre

在BFS函數裏首先設置BFS起點是右邊0匹配左邊x，而後嘗試爲x找到增廣路。

枚舉每一個未被vis的y，獲得w[x] + w[y]與val(x, y)的差值。

用這個差值更新need[y]，若是差值比need[y]小，就代表y的前一個節點是mat[x]的話會更佳，令pre[y] = u(u表示正在匹配x的節點，也就是上一個x準備匹配的節點)

用need[y]更新D，若是need[y] < D則代表全局上下一個點選擇y更優，令nex = y(此處nex是下一輪的u)

而後更新一遍，讓全部vis的右邊節點(固然也包括一開始咱們虛擬跟x匹配的右邊0號點)w += D，而與之匹配的左邊節點w -= D

結束條件是找到的這個u沒有匹配。此時增廣路就找到了。

而後把交錯路取反，也就是每一個u的匹配變成上一個u的匹配，直到倒數第二個u匹配x。

啊我到底在口胡些什麼

 1 //thanks to yyb
 2 #include <cstdio>
 3 #include <algorithm>
 4 #include <cstring>
 5 
 6 typedef long long LL;
 7 const int N = 410;
 8 const LL INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
 9 
10 int vis[N * 2], mat[N * 2], Time, pre[N * 2], n, m;
11 LL val[N][N], w[N * 2], need[N * 2];
12 
13 void BFS(int x) {
14     memset(need, 0x3f, sizeof(need));
15     memset(pre, 0, sizeof(pre));
16     int u = 0, nex;
17     mat[u] = x;
18     do {
19         x = mat[u];
20         LL D = INF;
21         vis[u] = Time;
22         for(int y = n + 1; y <= n + m; y++) {
23             if(vis[y] == Time) {
24                 continue;
25             }
26             LL t = w[x] + w[y] - val[x][y - n];
27             if(t < need[y]) { // update need pre
28                 need[y] = t;
29                 pre[y] = u;
30             }
31             if(need[y] < D) { // update D nex
32                 D = need[y];
33                 nex = y;
34             }
35         }
36         // update
37         w[mat[0]] -= D; // do not forget! 
38         w[0] += D;
39         for(int i = n + 1; i <= n + m; i++) {
40             if(vis[i] == Time) {
41                 w[mat[i]] -= D;
42                 w[i] += D;
43             }
44             else {
45                 need[i] -= D;
46             }
47         }
48         u = nex;
49     } while(mat[u]);
50 
51     while(u) { // update path 
52         mat[u] = mat[pre[u]];
53         u = pre[u];
54     }
55 
56     return;
57 }
58 
59 int main() {
60     int q;
61     scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
62     m = std::max(n, m);
63     for(int i = 1; i <= q; i++) {
64         int x, y;
65         LL z;
66         scanf("%d%d%lld", &x, &y, &z);
67         val[x][y] = std::max(val[x][y], z);
68         w[x] = std::max(w[x], val[x][y]);
69     }
70     for(int i = 1; i <= n; i++) {
71         ++Time; // ++Time
72         BFS(i);
73     }
74     LL ans = 0;
75     for(int i = n + 1; i <= n + m; i++) {
76         if(val[mat[i]][i - n]) { // do not forget " - n"!
77             mat[mat[i]] = i;
78             ans += val[mat[i]][i - n];
79         }
80     }
81     printf("%lld\n", ans);
82     for(int i = 1; i <= n; i++) {
83         printf("%d ", mat[i] ? mat[i] - n : mat[i]);
84     }
85     return 0;
86 }

AC代碼

最後感謝YYB神犇，我是照抄他的代碼的%%%%%%。