算法的時間複雜度O

1、時間複雜度

　　在進行算法分析時，語句總的執行次數 T(n) 是關於問題的規模n 的函數，進而分析 T(n) 隨 n 的變化狀況並肯定 T(n) 的數量級，算法的時間複雜度，也就是算法的時間度量，記做：T(n) = O(f( ))。它表示隨問題的規模 n 的增大，算法的執行時間的增加率 f(n) 的增加率相同，稱做算法的漸近時間複雜度，簡稱爲時間的複雜度，其中 f(n) 是問題規模n的某個函數。

    這樣用大寫 [ O( ) ] 來體現算法時間複雜度的記法，咱們就稱之爲大O記法。例如：O(n)、O(1)、O(n2)、O(log n) 等等。通常狀況下，隨着 n 的增大，T(n) 增加最慢的算法爲最優算法。

2、推導大O階的方法

1，用時間1取代運算時間中的全部加法常數。

2，在修改後的運行的函數中，只保留最高階項。

3，若是最高階項存在且不是1，則去除與這個項相乘的常數。獲得的結果就是大O階。

例1：時間複雜度爲O(1)常數階的算法

1 int sum = 0, n = 100;    /* 執行一次 */
2 sum = (1+n) *n/2;        /* 執行一次 */
3 printf("the sum is：%d",sum)；   /* 執行一次 */

　　咱們能夠看出運行次數的函數是 f(n) = 3。根據咱們上面的大O階公式 1 能夠獲得，把常數項 3 改成 1，在保留最高階時發現沒有最高階項，因此時間複雜度爲大 O(1)。也就是說，不管算法是 3 次仍是 30 次，哪怕是 300 次，這些只要是常數項，它的時間複雜度都爲大 O(1)，而不是O(3)、O(30)、O(300)。即咱們稱之爲常數階。

例2：時間複雜度爲O(n)線性階的算法

1 for(int i = 0; i < n; i++) { 2     sum += i; 3 }

　　從上面的這段代碼咱們能夠看出，它的時間複雜度爲O(n)，由於循環體中的代碼須要執行n次。

例3：時間複雜度爲O(n²)平方階的算法

1 for(int i = 0; i < n; i++) {
2     for(int j = i; j < n; j++) {
3         //時間複雜度爲O(n2)
4     }
5 }

分析：

　　當 i = 0時，內循環執行了 n 次，

　　當 i = 1時，內循環執行了 n-1 次，

　　......

　　當 i = n-1時。執行了 1 次，

　　因此總的執行次數爲：n = (n-1)+(n-2)+ ··· + 1= n(n+1)/2 = n²/2+n/2。

　　由上面的公式可得：第一條代碼中沒有加法常數項，不考慮；第二條只保留最高階項，所以保留 n²/2；第三條去除這個項相乘的常數，因此去除了 1/2；最終咱們獲得的代碼段時間複雜度就是 O(n²)。

例4：時間複雜度爲O(log n)對數階的算法

1 int count = 1; 2 while (count < n) { 3     count *= 2; 4 }

　　上面代碼咱們能夠看出，count = count * 2 以後就距離 n 更近一步，也就是說，有多少個 2 相乘後大於 n,就退出循環。因此咱們能夠由 2x = n 推導出 x = log2n ,像這樣的循環時間複雜度，咱們就稱爲對數階的複雜度即爲 O(log n)。

3、O階算法效率排序

　　 數據結構中咱們通常經常使用的時間複雜度表示有：O(1)、O(n)、O(n²)、O(log n)、O(nlog n)、O(n³)、O(2ⁿ)。

　　按時間複雜度所耗費的時間從大到小排序依次爲：

　　O(1) < O(log n) < O(n) < O(nlog n) < O(n²) < O(n³) < O(2ⁿ)