白噪聲

時間 2019-11-12

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白噪聲，是一種功率譜密度爲常數的隨機信號或隨機過程。即，此信號在各個頻段上的功率是同樣的。因爲白光是由各類頻率（顏色）的單色光混合而成，於是此信號的這種具備平坦功率譜的性質被稱做是「白色的」，此信號也所以被稱做白噪聲。相對的，其餘不具備這一性質的噪聲信號被稱爲有色噪聲。php

理想的白噪聲具備無限帶寬，於是其能量是無限大，這在現實世界是不可能存在的。實際上，咱們經常將有限帶寬的平整信號視爲白噪聲，以方便進行數學分析。函數

1. 統計特性

白噪聲過程現實實例測試

術語白噪聲也經常使用於表示在相關空間的自相關爲0的空域噪聲信號，因而信號在空間頻率域內就是「白色」的，對於角頻率域內的信號也是這樣，例如夜空中向各個角度發散的信號。右面的圖片顯示了計算機產生的一個有限長度的離散時間白噪聲過程。spa

須要指出，相關性和機率分佈是兩個不相關的概念。「白色」僅意味着信號是不相關的，白噪聲的定義除了要求均值爲零外並無對信號應當服從哪一種機率分佈做出任何假設。所以，若是某白噪聲過程服從高斯分佈，則它是「高斯白噪聲」。相似的，還有泊松白噪聲、柯西白噪聲等。人們常常將高斯白噪聲與白噪聲相混同，這是不正確的認識。根據中心極限定理，高斯白噪聲是許多現實世界過程的一個很好的近似，而且可以生成數學上能夠跟蹤的模型，這些模型用得如此頻繁以致於加性高斯白噪聲成了一個標準的縮寫詞：AWGN。此外，高斯白噪聲有着很是有用的統計學特性，由於高斯變量的獨立性與不相關性等價。.net

白噪聲是維納過程或者布朗運動的廣義均方導數(generalized mean-square derivative)。設計

白噪聲的數學指望爲0：圖片

$\mu _{n}={\mathbb {E}}\{n(t)\}=0$

其自相關函數爲狄拉克δ函數：ip

$r_{{nn}}={\mathbb {E}}\{n(t)n(t-\tau )\}=\delta (\tau )$

上式正是對白噪聲的「白色」性質在時域的描述。因爲隨機過程的功率譜密度是其自相關函數的傅里葉變換，而δ函數的傅里葉變換爲常數，所以白噪聲的功率譜密度是平坦的。get

頻譜圖上顯示的左邊的粉紅噪聲和右邊的白噪聲數學

2. 噪聲的顏色

也有其它「顏色」的噪聲存在，最經常使用的有粉紅、棕色和藍色噪聲。

3. 應用

白噪聲的應用領域之一是建築聲學，爲了減弱內部空間中分散人注意力而且不但願出現的噪聲（如人的交談），使用持續的低強度噪聲做爲背景聲音。一些緊急車輛的警報器也使用白噪聲，由於白噪聲可以穿過如城市中交通噪聲這樣的背景噪聲而且不會引發反射，因此更加容易引發人們的注意。

在電子音樂中也有白噪聲的應用，它被直接或者做爲濾波器的輸入信號以產生其它類型的噪聲信號，尤爲是在音頻合成中，常常用來重現相似於鐃鈸這樣在頻域有很高噪聲成分的打擊樂器。

白噪聲也用來產生衝激響應。爲了在一個演出地點保證音樂會或者其它演出的均衡效果，從PA系統發出一個瞬間的白噪聲或者粉紅噪聲，而且在不一樣的地方監測噪聲信號，這樣工程師就可以建築物的聲學效應可以自動地放大或者削減某些頻率，從而就能夠調整整體的均衡效果以獲得一個平衡的和聲。

白噪聲能夠用於放大器或者電子濾波器的頻率響應測試，有時它與響應平坦的話筒或和自動均衡器一塊兒使用。這個設計的思路是系統會產生白噪聲，話筒接收到揚聲器產生的白噪聲，而後在每一個頻率段進行自動均衡從而獲得一個平坦的響應。這種系統用在專業級的設備、高端的家庭立體聲系統或者一些高端的汽車收音機上。

白噪聲也做爲一些隨機數字生成器的基礎使用。

白噪聲也能夠用於審訊前令人迷惑，而且可能用於感受剝奪技術的一部分。上市銷售的白噪聲機器產品有私密性加強器、睡眠輔助器以及掩飾耳鳴。

4. 數學定義

4.1 白色隨機向量

一個隨機向量 $\mathbf {w}$ 爲一個白色隨機向量當且僅當它的平均值函數與自相關函數知足如下條件：

$\mu _{w}={\mathbb {E}}\{{\mathbf {w}}\}=0$

$R_{{ww}}={\mathbb {E}}\{{\mathbf {w}}{\mathbf {w}}^{T}\}=\sigma ^{2}{\mathbf {I}}$

意即它是一個平均值爲零的隨機向量，而且它的自相關函數是單位矩陣的倍數。

4.2 白色隨機過程（白噪聲）

一個時間連續隨機過程 where $t\in {\mathbb {R}}$ 爲一個白噪聲當且僅當它的平均值函數與自相關函數知足如下條件：

$\mu _{w}(t)={\mathbb {E}}\{w(t)\}=0$

$R_{{ww}}(t_{1},t_{2})={\mathbb {E}}\{w(t_{1})w(t_{2})\}=(N_{{0}}/2)\delta (t_{1}-t_{2})$

意即它是一個對全部時間其平均值爲零的隨機過程，而且它的自相關函數是狄拉克δ函數，有無限大的功率。

由上述自相關函數可推出如下的功率譜密度。

$S_{{xx}}(\omega )=(N_{{0}}/2)\,\!$

因爲δ函數的傅里葉變換爲1。而對於全部頻率來講，此功率譜密度是同樣的。所以這是對白噪聲之「白色」性質在頻域的表述。

5. 隨機向量變換

白色隨機向量的兩個理論應用是模擬以及whitening另一個任意隨機向量。爲了模擬一個任意隨機向量，咱們使用一個仔細選擇的矩陣對白色隨機向量進行變換。咱們選擇的變換矩陣可以是被變換的白色隨機向量的平均值和協方差矩陣與模擬的任意向量的平均值和協方差矩陣相匹配。爲了whiten一個任意的隨機向量，咱們使用仔細選擇的矩陣對它進行變換，這樣獲得的隨機向量就是一個白色隨機向量。

這兩個思想在通訊和音頻領域中通道估計和通道均衡這樣的應用中是很關鍵的。這些思想在數據壓縮中也有應用。

5.1 模擬隨機向量

假設隨機向量 $\mathbf {x}$ 有協方差矩陣 $K_{{xx}}$ ，因爲這個矩陣是共軛對稱和半正定，根據線性代數中的譜定理，咱們能夠用如下方法對角線或者分解矩陣，

$\,\!K_{{xx}}=E\Lambda E^{T}$

其中是特徵向量的正交矩陣， $\Lambda$ 是特徵值的對角矩陣。

經過對白色向量 $\mathbf {w}$ 進行下面變換咱們能夠模擬這個平均爲 ${\mathbf {\mu }}$ 、協方差矩陣爲 $K_{{xx}}$ 的隨機向量 $\mathbf {x}$ 的一階和二階矩量屬性：

${\mathbf {x}}=H\,{\mathbf {w}}+\mu$

其中

$\,\!H=E\Lambda ^{{1/2}}$

這樣，這個變換輸出的指望是

${\mathbb {E}}\{{\mathbf {x}}\}=H\,{\mathbb {E}}\{{\mathbf {w}}\}+\mu =\mu$

協方差矩陣是

${\mathbb {E}}\{({\mathbf {x}}-\mu )({\mathbf {x}}-\mu )^{T}\}=H\,{\mathbb {E}}\{{\mathbf {w}}{\mathbf {w}}^{T}\}\,H^{T}=H\,H^{T}=E\Lambda ^{{1/2}}\Lambda ^{{1/2}}E^{T}=K_{{xx}}$

5.2 Whitening 隨機向量

whitening 一個平均值爲 ${\mathbf {\mu }}$ 、協方差矩陣爲 $K_{{xx}}$ 的向量 $\mathbf {x}$ 的方法是執行下面的計算：

${\mathbf {w}}=\Lambda ^{{-1/2}}\,E^{T}\,({\mathbf {x}}-{\mathbf {\mu }})$

這樣，這個變換輸出的指望是

${\mathbb {E}}\{{\mathbf {w}}\}=\Lambda ^{{-1/2}}\,E^{T}\,({\mathbb {E}}\{{\mathbf {x}}\}-{\mathbf {\mu }})=\Lambda ^{{-1/2}}\,E^{T}\,(\mu -\mu )=0$

協方差矩陣

${\mathbb {E}}\{{\mathbf {w}}{\mathbf {w}}^{T}\}={\mathbb {E}}\{\Lambda ^{{-1/2}}\,E^{T}\,({\mathbf {x}}-{\mathbf {\mu }})({\mathbf {x}}-{\mathbf {\mu }})^{T}E\,\Lambda ^{{-1/2}}\,\}$

$=\Lambda ^{{-1/2}}\,E^{T}\,{\mathbb {E}}\{({\mathbf {x}}-{\mathbf {\mu }})({\mathbf {x}}-{\mathbf {\mu }})^{T}\}E\,\Lambda ^{{-1/2}}\,$

$=\Lambda ^{{-1/2}}\,E^{T}\,K_{{xx}}E\,\Lambda ^{{-1/2}}$

對角線化 $K_{{xx}}$ 獲得：

$\Lambda ^{{-1/2}}\,E^{T}\,E\Lambda E^{T}E\,\Lambda ^{{-1/2}}=\Lambda ^{{-1/2}}\,\Lambda \,\Lambda ^{{-1/2}}=I$

這樣，經過上面的變換就能夠將隨機向量whiten成平均值爲0、協方差矩陣是單位矩陣。

6. 隨機信號變換

咱們將模擬和白化這兩個概念推廣到連續時間隨機信號或者隨機過程。咱們建立一個濾波器用於模擬，將白噪聲注入其中，用輸出信號模擬任意隨機過程的一階和二階矩。對於白化，咱們將任意隨機信號注入所選濾波器中，濾波器輸出是白噪聲。

6.1 模擬連續時間隨機信號

將白噪聲注入線性時不變濾波器中模擬任意隨機過程的一階和二階矩

咱們可使用固定的平均值 $\mu$ 、協方差函數

$K_{x}(\tau )={\mathbb {E}}\left\{(x(t_{1})-\mu )(x(t_{2})-\mu )^{{*}}\right\}{\mbox{ where }}\tau =t_{1}-t_{2}$

和功率譜密度

$S_{x}(\omega )=\int _{{-\infty }}^{{\infty }}K_{x}(\tau )\,e^{{-j\omega \tau }}\,d\tau$

模擬任何廣義的穩定、連續時間隨機過程 $x(t):t\in {\mathbb {R}}\,\!$

咱們可使用頻域技術模擬這個信號。

因爲 $K_{x}(\tau )$ 是個半正定的埃爾米特矩陣，因此 $S_{x}(\omega )$ 是實數而且當且僅當 $S_{x}(\omega )$ 知足 Paley-Wiener criterion

$\int _{{-\infty }}^{{\infty }}{\frac {\log(S_{x}(\omega ))}{1+\omega ^{2}}}\,d\omega <\infty$

時能夠 factored 爲

$S_{x}(\omega )=|H(\omega )|^{2}=H(\omega )\,H^{{*}}(\omega )$

若是 $S_{x}(\omega )$ 是有理函數，咱們能夠將它分解成極點-零點格式

$S_{x}(\omega )={\frac {\Pi _{{k=1}}^{{N}}(c_{k}-j\omega )(c_{k}^{{*}}+j\omega )}{\Pi _{{k=1}}^{{D}}(d_{k}-j\omega )(d_{k}^{{*}}+j\omega )}}$

選擇最小相位(minimum phase) $H(\omega )$ 保證極點和零點都位於S面的左側，這樣咱們就可使用 $H(\omega )$ 做爲濾波器的傳遞函數來模擬。

咱們能夠構建下面的線性、非時變(time-invariant)濾波器來模擬。

${\hat {x}}(t)={\mathcal {F}}^{{-1}}\left\{H(\omega )\right\}*w(t)+\mu$

其中是有以下一階和二階矩屬性的連續時間的白噪聲：

${\mathbb {E}}\{w(t)\}=0$

${\mathbb {E}}\{w(t_{1})w^{{*}}(t_{2})\}=K_{w}(t_{1},t_{2})=\delta (t_{1}-t_{2})$

這樣，結果信號 ${\hat {x}}(t)$ 與所指望的信號同樣有一樣的二階矩量屬性。

6.2 連續時間隨機信號的白化

任意隨機過程 x(t) 輸入一個線性時不變濾波器，濾波器將 x(t)白化爲白噪聲

假設咱們有一個廣義的穩定、連續時間隨機過程 $x(t):t\in {\mathbb {R}}\,\!$ ，與上面定義的信號一樣的平均值 $\mu$ 、協方差函數 $K_{x}(\tau )$ 和功率譜密度 $S_{x}(\omega )$ 。

咱們可使用頻域技術白化這個信號，用上面的過程 factor 功率譜密度 $S_{x}(\omega )$ 。

選擇最小相位 $H(\omega )$ 獲得極點和零點都位於s 面左側，這樣就能夠用下面的 inverse 濾波器 whiten

$H_{{inv}}(\omega )={\frac {1}{H(\omega )}}$

選擇的最小相位濾波器保證逆濾波器穩定的。另外，必須保證 $H(\omega )$ 在全部 $\omega \in {\mathbb {R}}$ 上都嚴格爲正，這樣 $H_{{inv}}(\omega )$ 就不會有任何奇點。

白化過程的最終格式以下所示：

$w(t)={\mathcal {F}}^{{-1}}\left\{H_{{inv}}(\omega )\right\}*(x(t)-\mu )$

這樣就是一個白色噪聲隨機過程，它的平均值爲零、功率譜密度爲

$S_{{w}}(\omega )={\mathcal {F}}\left\{{\mathbb {E}}\{w(t_{1})w(t_{2})\}\right\}=H_{{inv}}(\omega )S_{x}(\omega )H_{{inv}}^{{*}}(\omega )={\frac {S_{x}(\omega )}{S_{x}(\omega )}}=1$

注意這個功率譜密度對應於的協方差函數的δ函數。

$K_{w}(\tau )=\,\!\delta (\tau )$

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