二分查找高效斷定子序列

讀完本文，你能夠去力扣拿下以下題目：

392.判斷子序列

-----------

二分查找自己不難理解，難在巧妙地運用二分查找技巧。對於一個問題，你可能都很難想到它跟二分查找有關，好比前文 最長遞增子序列 就藉助一個紙牌遊戲衍生出二分查找解法。

今天再講一道巧用二分查找的算法問題：如何斷定字符串 s 是不是字符串 t 的子序列（能夠假定 s 長度比較小，且 t 的長度很是大）。舉兩個例子：

s = "abc", t = "ahbgdc", return true.

s = "axc", t = "ahbgdc", return false.

題目很容易理解，並且看起來很簡單，但很難想到這個問題跟二分查找有關吧？

1、問題分析

首先，一個很簡單的解法是這樣的：

bool isSubsequence(string s, string t) {
    int i = 0, j = 0;
    while (i < s.size() && j < t.size()) {
        if (s[i] == t[j]) i++;
        j++;
    }
    return i == s.size();
}

其思路也很是簡單，利用雙指針 i, j 分別指向 s, t，一邊前進一邊匹配子序列：

讀者也許會問，這不就是最優解法了嗎，時間複雜度只需 O(N)，N 爲 t 的長度。

是的，若是僅僅是這個問題，這個解法就夠好了，不過這個問題還有 follow up：

若是給你一系列字符串 s1,s2,... 和字符串 t，你須要斷定每一個串 s 是不是 t 的子序列（能夠假定 s 較短，t 很長）。

boolean[] isSubsequence(String[] sn, String t);

你也許會問，這不是很簡單嗎，仍是剛纔的邏輯，加個 for 循環不就好了？

能夠，可是此解法處理每一個 s 時間複雜度仍然是 O(N)，而若是巧妙運用二分查找，能夠將時間複雜度下降，大約是 O(MlogN)。因爲 N 相對 M 大不少，因此後者效率會更高。

PS：我認真寫了 100 多篇原創，手把手刷 200 道力扣題目，所有發佈在 labuladong的算法小抄，持續更新。建議收藏，按照個人文章順序刷題，掌握各類算法套路後投再入題海就如魚得水了。

2、二分思路

二分思路主要是對 t 進行預處理，用一個字典 index 將每一個字符出現的索引位置按順序存儲下來：

int m = s.length(), n = t.length();
ArrayList<Integer>[] index = new ArrayList[256];
// 先記下 t 中每一個字符出現的位置
for (int i = 0; i < n; i++) {
    char c = t.charAt(i);
    if (index[c] == null) 
        index[c] = new ArrayList<>();
    index[c].add(i);
}

好比對於這個狀況，匹配了 "ab"，應該匹配 "c" 了：

按照以前的解法，咱們須要 j 線性前進掃描字符 "c"，但藉助 index 中記錄的信息，能夠二分搜索 index[c] 中比 j 大的那個索引，在上圖的例子中，就是在 [0,2,6] 中搜索比 4 大的那個索引：

這樣就能夠直接獲得下一個 "c" 的索引。如今的問題就是，如何用二分查找計算那個剛好比 4 大的索引呢？答案是，尋找左側邊界的二分搜索就能夠作到。

PS：我認真寫了 100 多篇原創，手把手刷 200 道力扣題目，所有發佈在 labuladong的算法小抄，持續更新。建議收藏，按照個人文章順序刷題，掌握各類算法套路後投再入題海就如魚得水了。

3、再談二分查找

在前文 二分查找詳解 中，詳解了如何正確寫出三種二分查找算法的細節。二分查找返回目標值 val 的索引，對於搜索左側邊界的二分查找，有一個特殊性質：

當 val 不存在時，獲得的索引剛好是比 val 大的最小元素索引。

什麼意思呢，就是說若是在數組 [0,1,3,4] 中搜索元素 2，算法會返回索引 2，也就是元素 3 的位置，元素 3 是數組中大於 2 的最小元素。因此咱們能夠利用二分搜索避免線性掃描。

// 查找左側邊界的二分查找
int left_bound(ArrayList<Integer> arr, int tar) {
    int lo = 0, hi = arr.size();
    while (lo < hi) {
        int mid = lo + (hi - lo) / 2;
        if (tar > arr.get(mid)) {
            lo = mid + 1;
        } else {
            hi = mid;
        } 
    }
    return lo;
}

以上就是搜索左側邊界的二分查找，等會兒會用到，其中的細節能夠參見前文《二分查找詳解》，這裏再也不贅述。

4、代碼實現

這裏以單個字符串 s 爲例，對於多個字符串 s，能夠把預處理部分抽出來。

boolean isSubsequence(String s, String t) {
    int m = s.length(), n = t.length();
    // 對 t 進行預處理
    ArrayList<Integer>[] index = new ArrayList[256];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        char c = t.charAt(i);
        if (index[c] == null) 
            index[c] = new ArrayList<>();
        index[c].add(i);
    }
    
    // 串 t 上的指針
    int j = 0;
    // 藉助 index 查找 s[i]
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        char c = s.charAt(i);
        // 整個 t 壓根兒沒有字符 c
        if (index[c] == null) return false;
        int pos = left_bound(index[c], j);
        // 二分搜索區間中沒有找到字符 c
        if (pos == index[c].size()) return false;
        // 向前移動指針 j
        j = index[c].get(pos) + 1;
    }
    return true;
}

算法執行的過程是這樣的：

可見藉助二分查找，算法的效率是能夠大幅提高的。

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

個人 在線電子書 有 100 篇原創文章，手把手帶刷 200 道力扣題目，建議收藏！對應的 GitHub 算法倉庫 已經得到了 70k star，歡迎標星！