你知道嗎？2和10的整數次冪永不相等

序言

《編碼》這本書曾經在個人豆瓣「想讀」列表中躺了好久，大概在今年年初纔開始看。但讀着讀着發現書中的電路圖愈來愈多，而個人閱讀熱情也隨之被慢慢澆滅。五月初的時候，終究仍是把它合上，並在豆瓣上羞愧難當地將其標註爲「讀過」。

拋開晦澀的電路圖不談，書中有一句話吸引了個人注意力

第一次讀到這裏時，我想做者應當會在下一段給出具體的證實過程——結果竟然沒有。難道做者以爲兩側的空白過小了，不足以寫下他所發現的美妙證法？

受好奇心的驅使，我便試着證實書中的這個結論。

不過正式開始前，還得明確一下命題：對於任意的正整數a和b（a不等於b），10的a次冪和2的b次冪不相等。

先證實一條引理

爲了證實上面的命題，須要先證實一條引理：對於任意的正整數a，5的a次冪是一個奇數。能夠用數學概括法來證實。

首先驗證a爲1時命題成立。因爲5的1次冪爲5，而且5是一個奇數，因此命題成立；

接着，假設a爲k時命題成立，將5的k次冪寫成2n+1的形式，當a爲k+1時，

所以，5的k次冪也是一個奇數。所以，該命題對於任意的正整數a都是成立的。

同理可證：對於任意的正整數a，2的a次冪是偶數。

反證法證實原命題

假設存在正整數a和b（b大於a），使得10的a次冪與2的b次冪相等

將10分解爲2和5的積，再兩邊同時除以2的a次冪

等式的左邊和右邊分別是5的正整數次冪與2的正整數次冪。由前一節的引理可知，左邊是奇數，右邊是偶數，二者不可能相等，與上述等式產生矛盾。所以，原假設不成立，命題得證。

後記

我最開始的想法很複雜。雖然也是採用反證法，但我將等式作了以下變換

而後試圖證實以2爲底的10的對數不是有理數，和等式右邊不相等。不過這個方法於我而言太難了，便沒有繼續嘗試下去。

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